Номер 30.19, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.19, страница 192.

30.19. a) $\sqrt{x} = x - 6;$

б) $\sqrt{x^2 + x} = 2(x^2 + x) - 3;$

в) $\sqrt{5 - x} = x + 1;$

г) $x + 13 + \sqrt{18x^2 - x - 1} = 18x^2.$

а) $\sqrt{x} = x - 6$
Определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $x - 6 \ge 0$, откуда $x \ge 6$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (x - 6)^2$
$x = x^2 - 12x + 36$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$x^2 - 13x + 36 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: сумма корней равна 13, произведение равно 36. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 9$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):
$x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x \ge 6$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x \ge 6$.
Проверка подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{9} = 9 - 6 \implies 3 = 3$. Верно.
Ответ: $9$.

б) $\sqrt{x^2 + x} = 2(x^2 + x) - 3$
Это уравнение содержит повторяющееся выражение $x^2 + x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \sqrt{x^2 + x}$. Тогда $t^2 = x^2 + x$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.
Подставим $t$ в исходное уравнение:
$t = 2t^2 - 3$
Перепишем в виде квадратного уравнения:
$2t^2 - t - 3 = 0$
Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$
$t_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1$
Проверим корни по условию $t \ge 0$.
$t_1 = \frac{3}{2}$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
Вернемся к исходной переменной $x$ для $t = \frac{3}{2}$:
$\sqrt{x^2 + x} = \frac{3}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 + x = (\frac{3}{2})^2$
$x^2 + x = \frac{9}{4}$
$x^2 + x - \frac{9}{4} = 0$
Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4x^2 + 4x - 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D_x = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 16 + 144 = 160$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 10}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$
Проверять ОДЗ ($x^2+x \ge 0$) не требуется, так как мы решали уравнение $x^2+x = \frac{9}{4}$, что заведомо больше нуля.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$.

в) $\sqrt{5 - x} = x + 1$
Определим ОДЗ:
1. $5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.
2. $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Итоговая ОДЗ: $-1 \le x \le 5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5 - x})^2 = (x + 1)^2$
$5 - x = x^2 + 2x + 1$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-1 \le x \le 5$):
$x_1 = 1$ принадлежит отрезку $[-1, 5]$, является решением.
$x_2 = -4$ не принадлежит отрезку $[-1, 5]$, является посторонним корнем.
Проверка $x=1$ подстановкой: $\sqrt{5-1} = 1+1 \implies \sqrt{4}=2 \implies 2=2$. Верно.
Ответ: $1$.

г) $x + 13 + \sqrt{18x^2 - x - 1} = 18x^2$
Перенесем слагаемые, чтобы выделить повторяющееся выражение:
$\sqrt{18x^2 - x - 1} = 18x^2 - x - 13$
Выражение справа можно записать так: $(18x^2 - x - 1) - 12$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{18x^2 - x - 1}$, где $t \ge 0$. Тогда $t^2 = 18x^2 - x - 1$.
Уравнение принимает вид:
$t = t^2 - 12$
$t^2 - t - 12 = 0$
По теореме Виета, корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 4$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{18x^2 - x - 1} = 4$
Возведем в квадрат:
$18x^2 - x - 1 = 16$
$18x^2 - x - 17 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-17) = 1 + 1224 = 1225 = 35^2$
$x_1 = \frac{1 + 35}{2 \cdot 18} = \frac{36}{36} = 1$
$x_2 = \frac{1 - 35}{36} = \frac{-34}{36} = -\frac{17}{18}$
Условия ОДЗ ($18x^2 - x - 1 \ge 0$ и $18x^2-x-13 \ge 0$) выполняются, так как мы решали уравнение $\sqrt{18x^2 - x - 1} = 4$. Левая часть по определению неотрицательна, а правая равна 4.
Ответ: $1; -\frac{17}{18}$.