Номер 30.25, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.25, страница 193.

30.25. a) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = x - 1$;

б) $\sqrt{x + 8 + 2\sqrt{x + 7}} + \sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 4$.

а) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = x - 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Выражения под внешними корнями также должны быть неотрицательными. Для первого корня: $x + 2\sqrt{x - 1}$. При $x \ge 1$, $x$ положительно, а $2\sqrt{x-1}$ неотрицательно, поэтому их сумма всегда неотрицательна.
Для второго корня: $x - 2\sqrt{x - 1} \ge 0 \implies x \ge 2\sqrt{x-1}$. Так как обе части неотрицательны при $x \ge 1$, можно возвести в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1) \implies x^2 - 4x + 4 \ge 0 \implies (x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого $x$.
3. Левая часть уравнения (сумма корней) неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательна: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Итак, ОДЗ: $x \ge 1$.

Преобразуем подкоренные выражения, используя формулу полного квадрата. Заметим, что $x = (x-1) + 1 = (\sqrt{x-1})^2 + 1^2$.
Тогда:
$x + 2\sqrt{x - 1} = (\sqrt{x-1})^2 + 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.
$x - 2\sqrt{x - 1} = (\sqrt{x-1})^2 - 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = x - 1$
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1| = x - 1$
Так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $\sqrt{x-1} + 1$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{x-1} + 1 + |\sqrt{x-1} - 1| = x - 1$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля $|\sqrt{x-1} - 1|$:
Случай 1: $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0 \implies \sqrt{x-1} \ge 1 \implies x-1 \ge 1 \implies x \ge 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.
Уравнение становится:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = x - 1$
$2\sqrt{x-1} = x - 1$
Пусть $t = \sqrt{x-1}$, где $t \ge 1$ (так как $x \ge 2 \implies x-1 \ge 1 \implies \sqrt{x-1} \ge 1$).
$2t = t^2$
$t^2 - 2t = 0$
$t(t-2) = 0$
$t=0$ или $t=2$.
$t=0$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$.
$t=2$ удовлетворяет. Вернемся к замене:
$\sqrt{x-1} = 2 \implies x-1 = 4 \implies x=5$.
Число 5 удовлетворяет условию $x \ge 2$, значит, это корень.

Случай 2: $\sqrt{x-1} - 1 < 0 \implies \sqrt{x-1} < 1 \implies 0 \le x-1 < 1 \implies 1 \le x < 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$.
Уравнение становится:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (1 - \sqrt{x-1}) = x - 1$
$2 = x - 1$
$x = 3$.
Это значение не входит в рассматриваемый промежуток $1 \le x < 2$, поэтому корней в этом случае нет.

Единственным решением является $x=5$.
Ответ: 5.

б) $\sqrt{x + 8 + 2\sqrt{x + 7}} + \sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 4$

Найдем ОДЗ.
1. $x + 7 \ge 0 \implies x \ge -7$.
2. $x + 8 + 2\sqrt{x + 7} \ge 0$. Преобразуем это выражение: $x+7+2\sqrt{x+7}+1 = (\sqrt{x+7}+1)^2$. Это выражение всегда неотрицательно.
3. $x + 1 - \sqrt{x + 7} \ge 0$.

Упростим первый член уравнения:
$\sqrt{x + 8 + 2\sqrt{x + 7}} = \sqrt{(\sqrt{x+7}+1)^2} = |\sqrt{x+7}+1|$.
Так как $\sqrt{x+7} \ge 0$, то $\sqrt{x+7}+1 > 0$, поэтому $|\sqrt{x+7}+1| = \sqrt{x+7}+1$.

Подставим упрощенное выражение в уравнение:
$\sqrt{x+7} + 1 + \sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 4$
$\sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 3 - \sqrt{x+7}$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню:
$3 - \sqrt{x+7} \ge 0$
$3 \ge \sqrt{x+7}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$9 \ge x+7$
$x \le 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge -7$), получаем ограничение на $x$: $-7 \le x \le 2$.

Теперь возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 3 - \sqrt{x+7}$:
$x + 1 - \sqrt{x + 7} = (3 - \sqrt{x+7})^2$
$x + 1 - \sqrt{x + 7} = 9 - 6\sqrt{x+7} + (\sqrt{x+7})^2$
$x + 1 - \sqrt{x + 7} = 9 - 6\sqrt{x+7} + x + 7$
$x + 1 - \sqrt{x + 7} = x + 16 - 6\sqrt{x+7}$
Перенесем члены с корнем в одну сторону, а остальные в другую:
$6\sqrt{x+7} - \sqrt{x+7} = 16 - 1$
$5\sqrt{x+7} = 15$
$\sqrt{x+7} = 3$
Возведем в квадрат:
$x+7 = 9$
$x = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ всем условиям. 1. $x=2$ принадлежит ОДЗ $x \ge -7$. 2. $x=2$ удовлетворяет условию $-7 \le x \le 2$. 3. Проверим условие $x + 1 - \sqrt{x + 7} \ge 0$: $2 + 1 - \sqrt{2 + 7} = 3 - \sqrt{9} = 3 - 3 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется.
Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

Ответ: 2.