Номер 30.31, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.31, страница 194.

30.31. a) $4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=x;$

б) $x + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x^2+2x} = 3.$

а)

Решим уравнение $4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1) = x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$1+x \ge 0 \implies x \ge -1$

$1-x \ge 0 \implies x \le 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения. Подставим $x=0$ в левую часть:

$4(\sqrt{1+0}-1)(\sqrt{1-0}+1) = 4(1-1)(1+1) = 4 \cdot 0 \cdot 2 = 0$.

Правая часть равна $x=0$. Так как $0=0$, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь рассмотрим случай, когда $x \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x$.

$\frac{4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)}{x} = 1$

Умножим и разделим выражение $(\sqrt{1+x}-1)$ на сопряженное ему $(\sqrt{1+x}+1)$:

$\sqrt{1+x}-1 = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{(1+x)-1^2}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{x}{\sqrt{1+x}+1}$

Подставим это в наше уравнение:

$\frac{4 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x}+1} \cdot (\sqrt{1-x}+1)}{x} = 1$

Сократив на $x$ (так как $x \ne 0$), получим:

$\frac{4(\sqrt{1-x}+1)}{\sqrt{1+x}+1} = 1$

$4(\sqrt{1-x}+1) = \sqrt{1+x}+1$

$4\sqrt{1-x}+4 = \sqrt{1+x}+1$

$4\sqrt{1-x}+3 = \sqrt{1+x}$

Обе части этого уравнения неотрицательны в ОДЗ, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(4\sqrt{1-x}+3)^2 = (\sqrt{1+x})^2$

$16(1-x) + 2 \cdot 4\sqrt{1-x} \cdot 3 + 9 = 1+x$

$16 - 16x + 24\sqrt{1-x} + 9 = 1+x$

$25 - 16x + 24\sqrt{1-x} = 1+x$

Выразим член с корнем:

$24\sqrt{1-x} = 1+x - (25-16x)$

$24\sqrt{1-x} = 17x-24$

Рассмотрим знаки левой и правой частей этого уравнения в пределах ОДЗ $x \in [-1, 1]$.

Левая часть: $24\sqrt{1-x} \ge 0$ для всех $x \le 1$.

Правая часть: $f(x) = 17x-24$. Это линейная возрастающая функция. Найдем ее значения на концах отрезка $[-1, 1]$:

$f(1) = 17(1) - 24 = -7$

$f(-1) = 17(-1) - 24 = -41$

Следовательно, для любого $x \in [-1, 1]$, правая часть $17x-24$ является отрицательной. Равенство неотрицательного числа и отрицательного числа невозможно. Единственный случай, когда равенство возможно, это если обе части равны нулю. Левая часть равна нулю при $x=1$. Но при $x=1$ правая часть равна $-7$. Таким образом, уравнение $24\sqrt{1-x} = 17x-24$ не имеет решений на отрезке $[-1, 1]$.

Это означает, что других решений, кроме $x=0$, нет.

Ответ: $0$.

б)

Решим уравнение $x + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x^2+2x} = 3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. $x \ge 0$

2. $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

3. $x^2+2x = x(x+2) \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$ или $x \le -2$.

Пересечение всех этих условий дает ОДЗ: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, мы можем переписать радикал $\sqrt{x^2+2x}$ как $\sqrt{x}\sqrt{x+2}$.

Уравнение принимает вид:

$x + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x}\sqrt{x+2} = 3$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выполнить факторизацию. Перепишем $x$ как $(\sqrt{x})^2$:

$(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x}\sqrt{x+2} = 3$

$(\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)) + (\sqrt{x+2}(1+\sqrt{x})) = 3$

Вынесем общий множитель $(\sqrt{x}+1)$:

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x} + \sqrt{x+2}) = 3$

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x} + \sqrt{x+2})$.

В области определения $x \ge 0$, функции $\sqrt{x}$, $\sqrt{x}+1$ и $\sqrt{x+2}$ являются положительными и возрастающими. Сумма возрастающих функций $(\sqrt{x} + \sqrt{x+2})$ также является возрастающей функцией. Произведение двух положительных возрастающих функций $(\sqrt{x}+1)$ и $(\sqrt{x} + \sqrt{x+2})$ также является строго возрастающей функцией.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает на своей области определения, уравнение $f(x) = 3$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти этот корень подбором, проверяя значения $x$, которые упрощают выражения под корнем.

Пусть $x = \frac{1}{4}$. Тогда $\sqrt{x} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ и $\sqrt{x+2} = \sqrt{\frac{1}{4}+2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Подставим эти значения в левую часть преобразованного уравнения:

$(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})(\frac{4}{2}) = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Левая часть равна правой. Значит, $x = \frac{1}{4}$ является корнем уравнения.

Так как мы установили, что решение единственное, то $x = \frac{1}{4}$ и есть искомое решение.

Ответ: $\frac{1}{4}$.