Номер 30.33, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.33, страница 194.

30.33. a) $\sqrt{x} < 7;$

б) $\sqrt[6]{x+1} \geq -1;$

в) $\sqrt{6-x} \leq 8;$

г) $\sqrt[7]{x+1} \geq -2.$

а)

Дано неравенство $ \sqrt{x} < 7 $.

Поскольку подкоренное выражение корня четной степени (квадратного корня) должно быть неотрицательным, найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ x \ge 0 $.

Обе части исходного неравенства $ \sqrt{x} < 7 $ неотрицательны. Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{x})^2 < 7^2 $

$ x < 49 $

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ. Решением является пересечение множеств $ x \ge 0 $ и $ x < 49 $, что можно записать в виде двойного неравенства:

$ 0 \le x < 49 $.

Это соответствует промежутку $ [0; 49) $.

Ответ: $ x \in [0; 49) $

б)

Дано неравенство $ \sqrt[6]{x+1} \ge -1 $.

Корень шестой степени является корнем четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем ОДЗ:

$ x+1 \ge 0 $

$ x \ge -1 $

По определению, арифметический корень четной степени всегда является неотрицательным числом. То есть, $ \sqrt[6]{x+1} \ge 0 $ для всех $x$ из ОДЗ.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше или равно любому отрицательному числу (в данном случае -1), неравенство $ \sqrt[6]{x+1} \ge -1 $ выполняется для всех значений $x$, при которых выражение $ \sqrt[6]{x+1} $ определено.

Следовательно, решением неравенства является его область допустимых значений.

Ответ: $ x \in [-1; +\infty) $

в)

Дано неравенство $ \sqrt{6-x} \le 8 $.

Это корень четной степени, поэтому найдем ОДЗ:

$ 6-x \ge 0 $

$ 6 \ge x $ или $ x \le 6 $.

Левая часть неравенства $ \sqrt{6-x} $ по определению неотрицательна, и правая часть (8) также положительна. Мы можем возвести обе части неравенства в квадрат:

$ (\sqrt{6-x})^2 \le 8^2 $

$ 6-x \le 64 $

$ -x \le 64 - 6 $

$ -x \le 58 $

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ x \ge -58 $

Объединим полученное решение с ОДЗ: $ x \le 6 $ и $ x \ge -58 $. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$ -58 \le x \le 6 $.

Ответ: $ x \in [-58; 6] $

г)

Дано неравенство $ \sqrt[7]{x+1} \ge -2 $.

Корень седьмой степени является корнем нечетной степени. Область определения корня нечетной степени — все действительные числа. Поэтому ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Для решения неравенств с корнями нечетной степени можно возводить обе части в степень, равную показателю корня, при этом знак неравенства сохраняется:

$ (\sqrt[7]{x+1})^7 \ge (-2)^7 $

$ x+1 \ge -128 $

$ x \ge -128 - 1 $

$ x \ge -129 $

Так как ОДЗ не накладывает ограничений, это и есть окончательное решение.

Ответ: $ x \in [-129; +\infty) $