Номер 30.40, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.40, страница 195.

30.40. Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{h(x)}$ равносильно двойному неравенству $0 \le f(x) \le h(x)$.

Для того чтобы доказать, что неравенство $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{h(x)}$ равносильно двойному неравенству $0 \le f(x) \le h(x)$, необходимо доказать два взаимно обратных утверждения:
1. Если $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{h(x)}$, то $0 \le f(x) \le h(x)$.
2. Если $0 \le f(x) \le h(x)$, то $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{h(x)}$.

Доказательство утверждения 1:
Пусть дано неравенство $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{h(x)}$.
По определению арифметического квадратного корня, выражения под корнями должны быть неотрицательными. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства:
$f(x) \ge 0$ и $h(x) \ge 0$.
Условие $f(x) \ge 0$ является первой частью доказываемого двойного неравенства.
Поскольку обе части исходного неравенства $\sqrt{f(x)}$ и $\sqrt{h(x)}$ являются неотрицательными, мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив при этом знак неравенства:
$(\sqrt{f(x)})^2 \le (\sqrt{h(x)})^2$
$f(x) \le h(x)$
Это вторая часть доказываемого двойного неравенства.
Объединив полученные условия $f(x) \ge 0$ и $f(x) \le h(x)$, мы приходим к двойному неравенству $0 \le f(x) \le h(x)$.
Таким образом, первое утверждение доказано.

Доказательство утверждения 2:
Пусть дано двойное неравенство $0 \le f(x) \le h(x)$.
Из этого неравенства следует, что $f(x)$ и $h(x)$ неотрицательны (поскольку $h(x) \ge f(x)$ и $f(x) \ge 0$, то и $h(x) \ge 0$). Следовательно, из обеих функций можно извлечь арифметический квадратный корень.
Также из условия следует, что $f(x) \le h(x)$.
Функция $y = \sqrt{t}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, то есть при $t \ge 0$. Это означает, что для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ из неравенства $a \le b$ следует неравенство $\sqrt{a} \le \sqrt{b}$.
Так как $f(x)$ и $h(x)$ неотрицательны и $f(x) \le h(x)$, мы можем применить это свойство:
$\sqrt{f(x)} \le \sqrt{h(x)}$
Таким образом, второе утверждение доказано.

Поскольку мы доказали оба утверждения (прямое и обратное следствие), мы установили, что неравенство $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{h(x)}$ и двойное неравенство $0 \le f(x) \le h(x)$ являются равносильными.

Ответ: Утверждение доказано.