Номер 30.47, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.47, страница 196.

30.47. a) $\sqrt{(x + 2)(x - 5)} < 8 - x;$

б) $\sqrt{x^2 - 4x} > x - 3;$

в) $\sqrt{x^2 - 5x + 6} \le x + 4;$

г) $\sqrt{3x^2 - 22x} \ge 2x - 7.$

а) Решим неравенство $\sqrt{(x + 2)(x - 5)} < 8 - x$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$, которое равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} \implies \begin{cases} (x+2)(x-5) \ge 0 \\ 8-x > 0 \\ (x+2)(x-5) < (8-x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $(x+2)(x-5) \ge 0$. Корни левой части: $x_1 = -2, x_2 = 5$. Ветви параболы $y=(x+2)(x-5)$ направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)$.

2. $8-x > 0 \implies x < 8$.

3. Раскроем скобки в третьем неравенстве: $x^2 - 3x - 10 < 64 - 16x + x^2$.

Перенесем слагаемые: $-3x + 16x < 64 + 10 \implies 13x < 74 \implies x < \frac{74}{13}$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in ((-\infty; -2] \cup [5; +\infty)) \cap (-\infty; 8) \cap (-\infty; \frac{74}{13})$.

Так как $5 < \frac{74}{13} \approx 5.69$ и $\frac{74}{13} < 8$, то пересечение интервалов $(-\infty; 8)$ и $(-\infty; \frac{74}{13})$ есть $(-\infty; \frac{74}{13})$.

Таким образом, ищем пересечение $((-\infty; -2] \cup [5; +\infty)) \cap (-\infty; \frac{74}{13})$.

Это дает нам два интервала: $x \in (-\infty; -2]$ и $x \in [5; \frac{74}{13})$.

Объединяя их, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [5; \frac{74}{13})$.

б) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 4x} > x - 3$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$, которое равносильно совокупности двух систем.

Система 1 (когда правая часть отрицательна): $\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x^2 - 4x \ge 0 \end{cases}$

Система 2 (когда правая часть неотрицательна): $\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 4x > (x - 3)^2 \end{cases}$

Решим Систему 1:

1. $x - 3 < 0 \implies x < 3$.

2. $x^2 - 4x \ge 0 \implies x(x-4) \ge 0$. Корни: $x=0, x=4$. Решение: $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Пересечение решений для Системы 1 ($x < 3$ и ($x \le 0$ или $x \ge 4$)) дает: $x \in (-\infty; 0]$.

Решим Систему 2:

1. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

2. $x^2 - 4x > x^2 - 6x + 9 \implies -4x > -6x + 9 \implies 2x > 9 \implies x > \frac{9}{2}$.

Пересечение решений для Системы 2 ($x \ge 3$ и $x > 4.5$) дает: $x \in (\frac{9}{2}; +\infty)$.

Объединим решения обеих систем: $(-\infty; 0] \cup (\frac{9}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup (\frac{9}{2}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 5x + 6} \le x + 4$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$, которое равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \\ x^2 - 5x + 6 \le (x + 4)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1. $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-2)(x-3) \ge 0$. Корни: $x_1=2, x_2=3$. Решение: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.

2. $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

3. $x^2 - 5x + 6 \le x^2 + 8x + 16 \implies -5x - 8x \le 16 - 6 \implies -13x \le 10 \implies 13x \ge -10 \implies x \ge -\frac{10}{13}$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Пересечение $x \ge -4$ и $x \ge -\frac{10}{13}$ дает $x \ge -\frac{10}{13}$.

Таким образом, ищем пересечение $x \in ((-\infty; 2] \cup [3; +\infty)) \cap [-\frac{10}{13}; +\infty)$.

Это дает нам два интервала: $x \in [-\frac{10}{13}; 2]$ и $x \in [3; +\infty)$.

Объединяя их, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-\frac{10}{13}; 2] \cup [3; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\sqrt{3x^2 - 22x} \ge 2x - 7$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$, которое равносильно совокупности двух систем.

Система 1 (когда правая часть отрицательна): $\begin{cases} 2x - 7 < 0 \\ 3x^2 - 22x \ge 0 \end{cases}$

Система 2 (когда правая часть неотрицательна): $\begin{cases} 2x - 7 \ge 0 \\ 3x^2 - 22x \ge (2x - 7)^2 \end{cases}$

Решим Систему 1:

1. $2x - 7 < 0 \implies 2x < 7 \implies x < \frac{7}{2}$.

2. $3x^2 - 22x \ge 0 \implies x(3x - 22) \ge 0$. Корни: $x=0, x=\frac{22}{3}$. Решение: $x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{22}{3}; +\infty)$.

Пересечение решений для Системы 1 ($x < 3.5$ и ($x \le 0$ или $x \ge \frac{22}{3} \approx 7.33$)) дает: $x \in (-\infty; 0]$.

Решим Систему 2:

1. $2x - 7 \ge 0 \implies x \ge \frac{7}{2}$.

2. $3x^2 - 22x \ge 4x^2 - 28x + 49 \implies 0 \ge x^2 - 6x + 49$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 6x + 49$. Его дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 36 - 196 = -160$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1>0$), то трехчлен $x^2 - 6x + 49$ всегда положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 6x + 49 \le 0$ не имеет решений.

Значит, Система 2 не имеет решений.

Решением исходного неравенства является решение Системы 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.