Номер 30.53, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.53, страница 197.

30.53. a) $\sqrt{2 - x - \sqrt[3]{3x + 5}} < 3$;

б) $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[3]{x + 7} \ge 3$.

а) $\sqrt{2-x} - \sqrt[3]{3x+5} < 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 2]$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt[3]{3x+5}$. Исследуем ее на монотонность. Для этого найдем производную:$f'(x) = (\sqrt{2-x})' - (\sqrt[3]{3x+5})' = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}} - \frac{3}{3(3x+5)^{2/3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}} - \frac{1}{(\sqrt[3]{3x+5})^2}$.На области определения ($x < 2$ и $x \neq -5/3$) оба слагаемых в производной отрицательны или равны нулю (причем одновременно равняться нулю не могут), поэтому $f'(x) < 0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения.

Поскольку функция строго монотонна, уравнение $f(x) = 3$ может иметь не более одного корня. Решим это уравнение методом подбора. Проверим значение $x=-2$:$f(-2) = \sqrt{2 - (-2)} - \sqrt[3]{3(-2)+5} = \sqrt{4} - \sqrt[3]{-1} = 2 - (-1) = 3$.Значит, $x=-2$ — единственный корень уравнения $f(x) = 3$.

Мы решаем неравенство $f(x) < 3$. Так как $f(x)$ — строго убывающая функция, это неравенство будет выполняться для всех значений $x$, которые больше найденного корня, то есть $x > -2$.С учетом ОДЗ $x \le 2$, получаем окончательное решение: $-2 < x \le 2$.

Ответ: $(-2, 2]$.

б) $\sqrt{2x-1} + \sqrt[3]{x+7} \ge 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2x-1 \ge 0$, откуда $x \ge \frac{1}{2}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt{2x-1} + \sqrt[3]{x+7}$. Исследуем ее на монотонность, найдя производную:$g'(x) = (\sqrt{2x-1})' + (\sqrt[3]{x+7})' = \frac{2}{2\sqrt{2x-1}} + \frac{1}{3(x+7)^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} + \frac{1}{3(\sqrt[3]{x+7})^2}$.На области определения ($x > 1/2$) оба слагаемых в производной положительны, поэтому $g'(x) > 0$. Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Поскольку функция строго монотонна, уравнение $g(x) = 3$ может иметь не более одного корня. Решим это уравнение методом подбора. Проверим значение $x=1$:$g(1) = \sqrt{2(1)-1} + \sqrt[3]{1+7} = \sqrt{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3$.Следовательно, $x=1$ — единственный корень уравнения $g(x)=3$.

Мы решаем неравенство $g(x) \ge 3$. Так как $g(x)$ — строго возрастающая функция, это неравенство будет выполняться для всех значений $x$, которые не меньше найденного корня, то есть $x \ge 1$.Это решение $x \ge 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge \frac{1}{2}$).

Ответ: $[1, +\infty)$.