Номер 30.60, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.60, страница 198.

30.60. $\frac{1}{\sqrt{x+1}-1} + \frac{2}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3x+7}-\sqrt{7}} > \frac{10+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{x}$

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$2x+3 \ge 0 \implies x \ge -3/2$

$3x+7 \ge 0 \implies x \ge -7/3$

Одновременное выполнение этих условий дает $x \ge -1$.

Знаменатели дробей не должны обращаться в нуль:

$\sqrt{x+1}-1 \ne 0 \implies x+1 \ne 1 \implies x \ne 0$

$\sqrt{2x+3}-\sqrt{3} \ne 0 \implies 2x+3 \ne 3 \implies x \ne 0$

$\sqrt{3x+7}-\sqrt{7} \ne 0 \implies 3x+7 \ne 7 \implies x \ne 0$

Также из правой части неравенства следует, что $x \ne 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in [-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Теперь упростим левую часть исходного неравенства. Для этого в каждой дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение.

$\frac{1}{\sqrt{x+1}-1} = \frac{\sqrt{x+1}+1}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{\sqrt{x+1}+1}{x+1-1} = \frac{\sqrt{x+1}+1}{x}$

$\frac{2}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2x+3}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{3})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2x+3}+\sqrt{3})}{2x+3-3} = \frac{2(\sqrt{2x+3}+\sqrt{3})}{2x} = \frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{3}}{x}$

$\frac{3}{\sqrt{3x+7}-\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{3x+7}+\sqrt{7})}{(\sqrt{3x+7}-\sqrt{7})(\sqrt{3x+7}+\sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{3x+7}+\sqrt{7})}{3x+7-7} = \frac{3(\sqrt{3x+7}+\sqrt{7})}{3x} = \frac{\sqrt{3x+7}+\sqrt{7}}{x}$

Подставим полученные выражения в неравенство:

$\frac{\sqrt{x+1}+1}{x} + \frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{3}}{x} + \frac{\sqrt{3x+7}+\sqrt{7}}{x} > \frac{10+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{x}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{x+1}+1 + \sqrt{2x+3}+\sqrt{3} + \sqrt{3x+7}+\sqrt{7} - 10-\sqrt{3}-\sqrt{7}}{x} > 0$

После упрощения числителя получаем:

$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7} - 9}{x} > 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Нули числителя: $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7} - 9 = 0$, или $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7} = 9$.

Пусть $f(x) = \sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}$. Эта функция является строго возрастающей на своей области определения как сумма возрастающих функций. Значит, уравнение $f(x)=9$ может иметь не более одного корня. Легко проверить, что $x=3$ является корнем, так как $f(3) = \sqrt{3+1}+\sqrt{2(3)+3}+\sqrt{3(3)+7} = \sqrt{4}+\sqrt{9}+\sqrt{16} = 2+3+4=9$.

Теперь нанесем нули числителя ($x=3$) и знаменателя ($x=0$) на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{f(x)-9}{x}$ в интервалах, входящих в ОДЗ: $[-1, 0)$, $(0, 3)$, $(3, +\infty)$.

1. Если $x \in (3, +\infty)$, то $x > 3$. Знаменатель $x > 0$. Так как $f(x)$ возрастает, то $f(x) > f(3) = 9$, значит числитель $f(x)-9 > 0$. Дробь имеет вид $\frac{+}{+}$, то есть она положительна. Этот интервал входит в решение.

2. Если $x \in (0, 3)$, то $0 < x < 3$. Знаменатель $x > 0$. Так как $f(x)$ возрастает, то $f(x) < f(3) = 9$, значит числитель $f(x)-9 < 0$. Дробь имеет вид $\frac{-}{+}$, то есть она отрицательна. Этот интервал не входит в решение.

3. Если $x \in [-1, 0)$, то $-1 \le x < 0$. Знаменатель $x < 0$. Так как $f(x)$ возрастает, $f(x) \ge f(-1) = \sqrt{0}+\sqrt{1}+\sqrt{4}=3$. Также $f(x) < f(0) = \sqrt{1}+\sqrt{3}+\sqrt{7}$. В любом случае, на этом интервале $f(x) < 9$, поэтому числитель $f(x)-9 < 0$. Дробь имеет вид $\frac{-}{-}$, то есть она положительна. Этот интервал входит в решение.

Объединяя полученные интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (3, +\infty)$.