Номер 31.2, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.2, страница 199.

Сравните числа a и b:

31.2. a) $a = 100!$, $b = 3^{100}$;

б) $a = 100!$, $b = 10^{100}$.

а) Сравним числа $a = 100!$ и $b = 3^{100}$.

Представим оба числа в виде произведения 100 сомножителей:
$a = 100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100$
$b = 3^{100} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 3$

Чтобы сравнить эти два числа, рассмотрим их отношение $\frac{a}{b}$:
$\frac{a}{b} = \frac{100!}{3^{100}} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \dots \cdot \frac{100}{3}$

Сгруппируем множители в этом произведении. Первые два множителя меньше единицы, третий равен единице, а все остальные — больше единицы.
$\frac{a}{b} = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{3}{3} \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \dots \cdot \frac{100}{3}\right)$

Вычислим значение первых сгруппированных членов:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$
$\frac{3}{3} = 1$

Таким образом, отношение равно:
$\frac{a}{b} = \frac{2}{9} \cdot 1 \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \dots \cdot \frac{100}{3}\right)$

Чтобы $\frac{a}{b} > 1$, необходимо, чтобы произведение в скобках было больше, чем $\frac{9}{2} = 4.5$.
Произведение в скобках состоит из $100 - 4 + 1 = 97$ множителей, каждый из которых больше 1. Оценим произведение первых нескольких из них:
$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{9} \approx 2.22$ (этого еще недостаточно)
$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{3} = \frac{20}{9} \cdot 2 = \frac{40}{9} \approx 4.44$ (все еще меньше 4.5)
$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{7}{3} = \frac{40}{9} \cdot \frac{7}{3} = \frac{280}{27} \approx 10.37$

Уже произведение первых четырех членов из 97 больше, чем $10$, что значительно больше, чем требуемое значение $4.5$. Поскольку все остальные 93 множителя также больше 1, их общее произведение будет еще больше.
Следовательно, $\left(\frac{4}{3} \cdot \dots \cdot \frac{100}{3}\right) > \frac{9}{2}$.
Это означает, что $\frac{a}{b} > 1$, и, таким образом, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

---

б) Сравним числа $a = 100!$ и $b = 10^{100}$.

Преобразуем число $b$:
$b = 10^{100} = (10^2)^{50} = 100^{50}$

Теперь представим число $b$ как произведение 50 множителей:
$b = 100 \cdot 100 \cdot \dots \cdot 100$ (50 раз)

Число $a = 100!$ можно представить как произведение 100 множителей от 1 до 100. Сгруппируем их попарно, чтобы получить 50 сомножителей:
$a = 100! = (1 \cdot 100) \cdot (2 \cdot 99) \cdot (3 \cdot 98) \cdot \dots \cdot (50 \cdot 51)$

Теперь сравним сомножители чисел $a$ и $b$ попарно.
Первый сомножитель $a$: $1 \cdot 100 = 100$. Он равен первому сомножителю $b$.
Второй сомножитель $a$: $2 \cdot 99 = 198$. Он больше второго сомножителя $b$ (100).
Третий сомножитель $a$: $3 \cdot 98 = 294$. Он больше третьего сомножителя $b$ (100).

Рассмотрим общий вид сомножителя числа $a$: $k \cdot (101-k)$ для $k$ от 1 до 50. Сравним его со 100.
При $k=1$, $1 \cdot (101-1) = 100$.
При $k \ge 2$, произведение $k(101-k)$ будет больше 100. Это можно увидеть, раскрыв скобки: $101k - k^2$. Разность $k(101-k) - 100 = 101k - k^2 - 100 = -(k^2 - 101k + 100) = -(k-1)(k-100)$.
Для $k$ в диапазоне от 2 до 50, $(k-1)$ положительно, а $(k-100)$ отрицательно. Значит, их произведение $(k-1)(k-100)$ отрицательно.
Следовательно, $-(k-1)(k-100)$ будет положительным, то есть $k(101-k) > 100$ для всех $k \in \{2, 3, \dots, 50\}$.

Таким образом, при сравнении произведений:
$a = (1 \cdot 100) \cdot (2 \cdot 99) \cdot \dots \cdot (50 \cdot 51)$
$b = 100 \cdot 100 \cdot \dots \cdot 100$
первые сомножители равны, а каждый из следующих 49 сомножителей числа $a$ больше соответствующего сомножителя числа $b$.
Из этого следует, что $a > b$.

Ответ: $a > b$.