Номер 30.64, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.64, страница 198.

30.64. Решите уравнение $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 4x + 29}} = \frac{7}{5}$

Данное уравнение:

$$ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 4x + 29}} = \frac{7}{5} $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, выражения под корнями в знаменателях должны быть строго больше нуля.

а) $x^2 - 4x + 5 > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $y = x^2 - 4x + 5$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный ($a=1 > 0$), парабола полностью лежит выше оси абсцисс, следовательно, выражение $x^2 - 4x + 5$ положительно при всех действительных значениях $x$.

б) $x^2 - 4x + 29 > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $y = x^2 - 4x + 29$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 16 - 116 = -100$.
Аналогично, так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 4x + 29$ также положительно при всех действительных значениях $x$.

Таким образом, область допустимых значений уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

2. Упрощение уравнения и введение замены

Заметим, что в обоих подкоренных выражениях присутствует общая часть $x^2 - 4x$. Для упрощения уравнения выделим полный квадрат в этих выражениях:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$
$x^2 - 4x + 29 = (x^2 - 4x + 4) + 25 = (x - 2)^2 + 25$
Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение: $$ \frac{1}{\sqrt{(x - 2)^2 + 1}} + \frac{2}{\sqrt{(x - 2)^2 + 25}} = \frac{7}{5} $$
Введем новую переменную. Пусть $t = (x - 2)^2$. Так как квадрат действительного числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$.
После замены уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{\sqrt{t + 1}} + \frac{2}{\sqrt{t + 25}} = \frac{7}{5} $$

3. Решение уравнения относительно t

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(t) = \frac{1}{\sqrt{t + 1}} + \frac{2}{\sqrt{t + 25}}$ при $t \ge 0$.
Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную по $t$: $$ f'(t) = \left( (t+1)^{-\frac{1}{2}} \right)' + \left( 2(t+25)^{-\frac{1}{2}} \right)' = -\frac{1}{2}(t+1)^{-\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{1}{2}(t+25)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{(t+1)^3}} - \frac{1}{\sqrt{(t+25)^3}} $$
Для всех $t \ge 0$ оба слагаемых в производной отрицательны, значит $f'(t) < 0$. Следовательно, функция $f(t)$ является строго убывающей на своей области определения $[0, +\infty)$.
Это означает, что уравнение $f(t) = \frac{7}{5}$ может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $t = 0$: $$ f(0) = \frac{1}{\sqrt{0 + 1}} + \frac{2}{\sqrt{0 + 25}} = \frac{1}{1} + \frac{2}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} $$
Мы видим, что $t=0$ является корнем уравнения. В силу строгой монотонности функции $f(t)$, этот корень является единственным.

4. Нахождение x

Теперь, когда мы нашли единственное значение для $t$, вернемся к исходной переменной $x$.
Мы делали замену $t = (x - 2)^2$. Подставим найденное значение $t=0$:
$(x - 2)^2 = 0$
Из этого следует, что $x - 2 = 0$, откуда получаем $x = 2$.

Ответ: $2$