Номер 30.65, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.65, страница 198.

30.65. При каких положительных значениях параметра $a$ во множество решений неравенства $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$ можно поместить два непересекающихся отрезка длиной $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ каждый?

Для решения задачи найдем сначала множество решений неравенства $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$ при условии, что параметр $a$ положителен ($a > 0$).

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2ax - x^2 \ge 0$ $x(2a - x) \ge 0$ Так как по условию $a > 0$, корнями уравнения $x(2a - x) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2a$. Графиком функции $y = 2ax - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, неравенство выполняется на отрезке между корнями. ОДЗ: $x \in [0, 2a]$.

2. Решение неравенства.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства.

Случай 1: Правая часть отрицательна.
$a - x < 0$, что эквивалентно $x > a$.
В этом случае левая часть неравенства (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна, а правая часть — отрицательна. Таким образом, неравенство $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$ выполняется для всех $x$, для которых оно определено, то есть для всех $x$ из ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $x > a$ и $x \in [0, 2a]$. Это дает нам интервал $x \in (a, 2a]$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна.
$a - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le a$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства: $(\sqrt{2ax - x^2})^2 \ge (a - x)^2$ $2ax - x^2 \ge a^2 - 2ax + x^2$ $0 \ge 2x^2 - 4ax + a^2$ $2x^2 - 4ax + a^2 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 4ax + a^2 = 0$: $D = (-4a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a^2 = 16a^2 - 8a^2 = 8a^2$. $x_{1,2} = \frac{4a \pm \sqrt{8a^2}}{4} = \frac{4a \pm 2a\sqrt{2}}{4} = a \pm \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Корни: $x_1 = a - \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = a + \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Поскольку парабола $y = 2x^2 - 4ax + a^2$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $2x^2 - 4ax + a^2 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a + \frac{a\sqrt{2}}{2}]$.
Теперь необходимо учесть условие этого случая ($x \le a$) и ОДЗ. Пересечение $[a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a + \frac{a\sqrt{2}}{2}]$ с $x \le a$ дает отрезок $[a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a]$. Этот отрезок полностью входит в ОДЗ $[0, 2a]$, так как $a > 0$ влечет $a - \frac{a\sqrt{2}}{2} = a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$ и $a \le 2a$. Следовательно, решение во втором случае: $x \in [a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a]$.

3. Общее множество решений.
Объединим решения, полученные в обоих случаях: $(a, 2a] \cup [a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a] = [a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, 2a]$. Таким образом, множество решений исходного неравенства представляет собой один отрезок.

4. Нахождение значений параметра $a$.
Длина множества решений $L$ равна: $L = 2a - (a - \frac{a\sqrt{2}}{2}) = a + \frac{a\sqrt{2}}{2} = a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = a \frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
По условию, в это множество можно поместить два непересекающихся отрезка длиной $l = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ каждый. Это возможно тогда и только тогда, когда длина множества решений $L$ не меньше суммарной длины двух этих отрезков, то есть $2l$. $L \ge 2l$ $a \frac{2+\sqrt{2}}{2} \ge 2 \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2}$ $a \frac{2+\sqrt{2}}{2} \ge 2+\sqrt{2}$
Так как $2+\sqrt{2} > 0$, разделим обе части на $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$: $a \ge \frac{2+\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})/2}$ $a \ge 2$.
Найденные значения удовлетворяют начальному условию $a > 0$.

Ответ: $a \in [2; +\infty)$.