Страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

30.59. a) $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} < 6 - 16x;$

б) $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} > 12 - x + \sqrt{17 - x};$

в) $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} \ge 6 - 16x;$

г) $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} \le 12 - x + \sqrt{17 - x}.$

а) Решим неравенство $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} < 6 - 16x$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x + \frac{7}{8} \ge 0 \\ 8x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{7}{8} \\ x \ge -\frac{3}{8} \end{cases}$. Пересечением этих условий является $x \ge -\frac{3}{8}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{3}{8}, +\infty)$.

2. Используем метод монотонности.
Рассмотрим две функции: левую часть $f(x) = \sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x}$ и правую часть $g(x) = 6 - 16x$.

Функция $f(x)$ является суммой трёх возрастающих функций ($\sqrt{x + \frac{7}{8}}$, $\sqrt{8x + 3}$ и $2\sqrt[3]{x}$), следовательно, $f(x)$ строго возрастает на своей области определения.

Функция $g(x)$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($-16$), следовательно, $g(x)$ строго убывает.

Так как функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного корня.

3. Найдём корень уравнения $f(x) = g(x)$ методом подбора.
Попробуем значение $x = \frac{1}{8}$, которое принадлежит ОДЗ.
Вычислим значение левой части: $f(\frac{1}{8}) = \sqrt{\frac{1}{8} + \frac{7}{8}} + \sqrt{8 \cdot \frac{1}{8} + 3} + 2\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt{1} + \sqrt{1 + 3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{4} + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.
Вычислим значение правой части: $g(\frac{1}{8}) = 6 - 16 \cdot \frac{1}{8} = 6 - 2 = 4$.

Так как $f(\frac{1}{8}) = g(\frac{1}{8})$, то $x = \frac{1}{8}$ является единственным корнем уравнения.

4. Решим неравенство $f(x) < g(x)$.
Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство $f(x) < g(x)$ выполняется при $x < \frac{1}{8}$.

5. Совместим полученное решение с ОДЗ.
Нам нужно найти пересечение множеств $x < \frac{1}{8}$ и $x \ge -\frac{3}{8}$. Получаем интервал $[-\frac{3}{8}, \frac{1}{8})$.

Ответ: $[-\frac{3}{8}, \frac{1}{8})$.

б) Решим неравенство $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} > 12 - x + \sqrt{17 - x}$.

1. Найдём ОДЗ.
$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 17 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ x \le 17 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}, 17]$.

2. Используем метод монотонности.
Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть: $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} + x - \sqrt{17 - x} > 12$. Let $h(x) = \sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} + x - \sqrt{17 - x}$. Функция $h(x)$ является суммой возрастающих функций, поэтому она строго возрастает на ОДЗ.

Решение уравнения $h(x) = 12$ стандартными школьными методами затруднительно, так как оно не имеет "удобных" целочисленных или рациональных корней. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — коэффициент 5 при $\sqrt[3]{x}$ вместо 1. Ниже приведено решение для исправленного варианта неравенства: $\sqrt{3x + 1} + \sqrt[3]{x} > 12 - x + \sqrt{17 - x}$.

3. Решение исправленного неравенства.
Перепишем его в виде $f(x) > g(x)$, где $f(x) = \sqrt{3x + 1} + \sqrt[3]{x} + x$ и $g(x) = 12 + \sqrt{17 - x}$.
Функция $f(x)$ — возрастающая, а функция $g(x)$ — убывающая. Значит, уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня.

4. Найдём корень подбором.
Проверим целое значение $x=8$ из ОДЗ.
$f(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} + \sqrt[3]{8} + 8 = \sqrt{25} + 2 + 8 = 5 + 2 + 8 = 15$.
$g(8) = 12 + \sqrt{17 - 8} = 12 + \sqrt{9} = 12 + 3 = 15$.
Так как $f(8) = g(8)$, $x=8$ является единственным корнем.

5. Решим неравенство $f(x) > g(x)$.
Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство выполняется при $x > 8$.

6. С учётом ОДЗ $x \in [-\frac{1}{3}, 17]$ получаем: $8 < x \le 17$.

Ответ: $(8, 17]$ (для исправленного условия с $\sqrt[3]{x}$ вместо $5\sqrt[3]{x}$).

в) Решим неравенство $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} \ge 6 - 16x$.

Данное неравенство отличается от неравенства в пункте а) только знаком ($\ge$ вместо $<$).

1. ОДЗ и функции.
ОДЗ: $x \in [-\frac{3}{8}, +\infty)$.
$f(x) = \sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x}$ (возрастающая).
$g(x) = 6 - 16x$ (убывающая).

2. Корень уравнения.
Как установлено в пункте а), единственным корнем уравнения $f(x) = g(x)$ является $x = \frac{1}{8}$.

3. Решим неравенство $f(x) \ge g(x)$.
Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство выполняется при $x \ge \frac{1}{8}$.

4. Совместим с ОДЗ.
Решение $x \ge \frac{1}{8}$ полностью удовлетворяет ОДЗ $x \ge -\frac{3}{8}$.

Ответ: $[\frac{1}{8}, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} \le 12 - x + \sqrt{17 - x}$.

Данное неравенство отличается от неравенства в пункте б) только знаком ($\le$ вместо $>$).

1. ОДЗ.
$x \in [-\frac{1}{3}, 17]$.

2. Решение с учётом опечатки.
Как и в пункте б), предположим, что в условии опечатка, и решаем вариант: $\sqrt{3x + 1} + \sqrt[3]{x} \le 12 - x + \sqrt{17 - x}$.
Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt{3x + 1} + \sqrt[3]{x} + x$ (возрастающая) и $g(x) = 12 + \sqrt{17 - x}$ (убывающая).

3. Корень уравнения.
Единственным корнем уравнения $f(x) = g(x)$ является $x=8$.

4. Решим неравенство $f(x) \le g(x)$.
Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство выполняется при $x \le 8$.

5. С учётом ОДЗ $x \in [-\frac{1}{3}, 17]$ получаем: $-\frac{1}{3} \le x \le 8$.

Ответ: $[-\frac{1}{3}, 8]$ (для исправленного условия с $\sqrt[3]{x}$ вместо $5\sqrt[3]{x}$).

30.60. $\frac{1}{\sqrt{x+1}-1} + \frac{2}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3x+7}-\sqrt{7}} > \frac{10+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{x}$

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$2x+3 \ge 0 \implies x \ge -3/2$

$3x+7 \ge 0 \implies x \ge -7/3$

Одновременное выполнение этих условий дает $x \ge -1$.

Знаменатели дробей не должны обращаться в нуль:

$\sqrt{x+1}-1 \ne 0 \implies x+1 \ne 1 \implies x \ne 0$

$\sqrt{2x+3}-\sqrt{3} \ne 0 \implies 2x+3 \ne 3 \implies x \ne 0$

$\sqrt{3x+7}-\sqrt{7} \ne 0 \implies 3x+7 \ne 7 \implies x \ne 0$

Также из правой части неравенства следует, что $x \ne 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in [-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Теперь упростим левую часть исходного неравенства. Для этого в каждой дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение.

$\frac{1}{\sqrt{x+1}-1} = \frac{\sqrt{x+1}+1}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{\sqrt{x+1}+1}{x+1-1} = \frac{\sqrt{x+1}+1}{x}$

$\frac{2}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2x+3}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{3})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2x+3}+\sqrt{3})}{2x+3-3} = \frac{2(\sqrt{2x+3}+\sqrt{3})}{2x} = \frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{3}}{x}$

$\frac{3}{\sqrt{3x+7}-\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{3x+7}+\sqrt{7})}{(\sqrt{3x+7}-\sqrt{7})(\sqrt{3x+7}+\sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{3x+7}+\sqrt{7})}{3x+7-7} = \frac{3(\sqrt{3x+7}+\sqrt{7})}{3x} = \frac{\sqrt{3x+7}+\sqrt{7}}{x}$

Подставим полученные выражения в неравенство:

$\frac{\sqrt{x+1}+1}{x} + \frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{3}}{x} + \frac{\sqrt{3x+7}+\sqrt{7}}{x} > \frac{10+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{x}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{x+1}+1 + \sqrt{2x+3}+\sqrt{3} + \sqrt{3x+7}+\sqrt{7} - 10-\sqrt{3}-\sqrt{7}}{x} > 0$

После упрощения числителя получаем:

$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7} - 9}{x} > 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Нули числителя: $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7} - 9 = 0$, или $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7} = 9$.

Пусть $f(x) = \sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}$. Эта функция является строго возрастающей на своей области определения как сумма возрастающих функций. Значит, уравнение $f(x)=9$ может иметь не более одного корня. Легко проверить, что $x=3$ является корнем, так как $f(3) = \sqrt{3+1}+\sqrt{2(3)+3}+\sqrt{3(3)+7} = \sqrt{4}+\sqrt{9}+\sqrt{16} = 2+3+4=9$.

Теперь нанесем нули числителя ($x=3$) и знаменателя ($x=0$) на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{f(x)-9}{x}$ в интервалах, входящих в ОДЗ: $[-1, 0)$, $(0, 3)$, $(3, +\infty)$.

1. Если $x \in (3, +\infty)$, то $x > 3$. Знаменатель $x > 0$. Так как $f(x)$ возрастает, то $f(x) > f(3) = 9$, значит числитель $f(x)-9 > 0$. Дробь имеет вид $\frac{+}{+}$, то есть она положительна. Этот интервал входит в решение.

2. Если $x \in (0, 3)$, то $0 < x < 3$. Знаменатель $x > 0$. Так как $f(x)$ возрастает, то $f(x) < f(3) = 9$, значит числитель $f(x)-9 < 0$. Дробь имеет вид $\frac{-}{+}$, то есть она отрицательна. Этот интервал не входит в решение.

3. Если $x \in [-1, 0)$, то $-1 \le x < 0$. Знаменатель $x < 0$. Так как $f(x)$ возрастает, $f(x) \ge f(-1) = \sqrt{0}+\sqrt{1}+\sqrt{4}=3$. Также $f(x) < f(0) = \sqrt{1}+\sqrt{3}+\sqrt{7}$. В любом случае, на этом интервале $f(x) < 9$, поэтому числитель $f(x)-9 < 0$. Дробь имеет вид $\frac{-}{-}$, то есть она положительна. Этот интервал входит в решение.

Объединяя полученные интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

30.61. Для каждого значения параметра a решите неравенство:

а) $\sqrt{x - a} < 1 - x;$

б) $\sqrt{x + 2} \ge x + 2a.$

а) $\sqrt{x-a} < 1-x$

Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как корень не может быть меньше отрицательного числа, и обе части можно возвести в квадрат, только если они обе неотрицательны.

$$ \begin{cases} x - a \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ 1 - x > 0 & \text{(правая часть строго положительна)} \\ x - a < (1 - x)^2 & \text{(возводим в квадрат обе части)} \end{cases} $$

Решим эту систему:

$$ \begin{cases} x \ge a \\ x < 1 \\ x - a < 1 - 2x + x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge a \\ x < 1 \\ x^2 - 3x + (1+a) > 0 \end{cases} $$

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 - 3x + (1+a) > 0$. Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + (1+a) = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1+a) = 9 - 4 - 4a = 5 - 4a$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискриминанта.

1. Если $D < 0$, то есть $5 - 4a < 0 \implies a > \frac{5}{4}$.
В этом случае ветви параболы $y = x^2 - 3x + (1+a)$ направлены вверх, и парабола не пересекает ось абсцисс, значит, неравенство $x^2 - 3x + (1+a) > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} x \ge a \\ x < 1 \end{cases} $$ Так как мы рассматриваем случай $a > \frac{5}{4}$, а $\frac{5}{4} > 1$, то условие $a < 1$ не выполняется. Следовательно, интервал $[a, 1)$ является пустым множеством. Решений нет.

2. Если $D = 0$, то есть $5 - 4a = 0 \implies a = \frac{5}{4}$.
Уравнение имеет один корень $x = \frac{3}{2}$. Неравенство $x^2 - 3x + (1+\frac{5}{4}) > 0$ принимает вид $(x - \frac{3}{2})^2 > 0$, что верно для всех $x \neq \frac{3}{2}$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} x \ge \frac{5}{4} \\ x < 1 \\ x \neq \frac{3}{2} \end{cases} $$ Так как $\frac{5}{4} > 1$, система не имеет решений.

3. Если $D > 0$, то есть $5 - 4a > 0 \implies a < \frac{5}{4}$.
Квадратное уравнение имеет два корня: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5-4a}}{2}$.
Решением неравенства $x^2 - 3x + (1+a) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$, где $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5-4a}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5-4a}}{2}$.
Нам нужно найти пересечение множества $[a, 1)$ с множеством $(-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$.
Сравним $1$ с корнями $x_1$ и $x_2$. $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5-4a}}{2} > \frac{3+0}{2} = 1.5 > 1$. Значит, $x_2 > 1$. Сравним $x_1$ с $1$: $x_1 - 1 = \frac{3 - \sqrt{5-4a}}{2} - 1 = \frac{1 - \sqrt{5-4a}}{2}$.
Знак этой разности зависит от $1 - \sqrt{5-4a}$.
Если $a < 1$, то $5-4a > 1 \implies \sqrt{5-4a} > 1 \implies 1 - \sqrt{5-4a} < 0 \implies x_1 < 1$.
Если $a = 1$, то $x_1 = 1$.
Если $1 < a < \frac{5}{4}$, то $x_1 > 1$.
Теперь рассмотрим подслучаи:
• Если $a < 1$: имеем $a < x_1 < 1 < x_2$. Ищем пересечение $[a, 1)$ и $(-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$. Пересечение с $(x_2, \infty)$ пусто. Пересечение $[a, 1)$ с $(-\infty, x_1)$ дает $[a, x_1)$. Итак, решение: $x \in [a, \frac{3 - \sqrt{5-4a}}{2})$.
• Если $a = 1$: система $x \ge 1$ и $x < 1$ несовместна. Решений нет.
• Если $1 < a < \frac{5}{4}$: имеем $1 < a < x_1 < x_2$. Интервал $[a, 1)$ является пустым множеством, так как $a>1$. Решений нет.

Объединяя все случаи, получаем:

Ответ: если $a < 1$, то $x \in [a, \frac{3 - \sqrt{5-4a}}{2})$; если $a \ge 1$, то решений нет.

б) $\sqrt{x+2} \ge x+2a$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

Система 1: правая часть отрицательна, а корень определен.
$$ \begin{cases} x+2a < 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -2a \\ x \ge -2 \end{cases} $$ Эта система имеет решение $[-2, -2a)$ только если $-2 < -2a$, то есть $a < 1$. Если $a \ge 1$, система 1 не имеет решений.

Система 2: правая часть неотрицательна, и мы можем возвести обе части в квадрат.
$$ \begin{cases} x+2a \ge 0 \\ x+2 \ge (x+2a)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2a \\ x+2 \ge x^2 + 4ax + 4a^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2a \\ x^2 + (4a-1)x + (4a^2-2) \le 0 \end{cases} $$

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 + (4a-1)x + (4a^2-2) \le 0$. Найдем дискриминант $D$ соответствующего уравнения:
$D = (4a-1)^2 - 4(4a^2-2) = 16a^2-8a+1 - 16a^2+8 = 9-8a$.
• Если $D < 0$, то есть $9-8a < 0 \implies a > \frac{9}{8}$. Квадратный трехчлен всегда положителен, и неравенство $x^2 + \dots \le 0$ не имеет решений. Система 2 не имеет решений.
• Если $D \ge 0$, то есть $a \le \frac{9}{8}$. Уравнение имеет корни $x_{1,2} = \frac{-(4a-1) \pm \sqrt{9-8a}}{2} = \frac{1-4a \pm \sqrt{9-8a}}{2}$.
Решением неравенства $x^2 + \dots \le 0$ является отрезок $[x_1, x_2]$, где $x_1 = \frac{1-4a - \sqrt{9-8a}}{2}$ и $x_2 = \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}$.
Решение Системы 2 — это пересечение отрезка $[x_1, x_2]$ с лучом $[-2a, \infty)$.

Теперь объединим решения обеих систем, рассмотрев различные значения параметра $a$. Критические точки для $a$: $1$ и $\frac{9}{8}$.

1. Если $a \le 1$.
В этом случае $a < \frac{9}{8}$, поэтому $D > 0$ (при $a=1, D=1$; при $a<1, D>1$).
Решение Системы 1: $x \in [-2, -2a)$.
Для Системы 2 можно показать, что $-2a \in (x_1, x_2)$ при $a<1$ и $-2a=x_1$ при $a=1$. Пересечение $[x_1, x_2]$ и $[-2a, \infty)$ дает $[-2a, x_2]$.
Общее решение — это объединение решений Системы 1 и Системы 2: $[-2, -2a) \cup [-2a, x_2] = [-2, x_2]$. При $a=1$ решение Системы 1 пусто, а решение Системы 2 равно $[-2,-1]$. Формула $[-2, x_2]$ при $a=1$ дает $[-2, \frac{1-4+\sqrt{1}}{2}] = [-2, -1]$. Таким образом, при $a \le 1$, решение: $x \in [-2, \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}]$.

2. Если $1 < a \le \frac{9}{8}$.
Система 1 не имеет решений, так как $a>1 \implies -2a < -2$. Решение есть только у Системы 2. Можно показать, что при $a>1$, $-2a < x_1$. Пересечение $[x_1, x_2]$ и $[-2a, \infty)$ дает $[x_1, x_2]$. • При $1 < a < \frac{9}{8}$, $D>0$ и решение: $x \in [\frac{1-4a - \sqrt{9-8a}}{2}, \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}]$.
• При $a = \frac{9}{8}$, $D=0$, корни сливаются: $x_1=x_2 = \frac{1-4(9/8)}{2} = -7/4$. Решение: $x = -7/4$. Эти два подслучая можно объединить одной формулой.

3. Если $a > \frac{9}{8}$.
Система 1 не имеет решений ($a>1$). Система 2 не имеет решений ($D<0$). Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in [-2, \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}]$;
если $1 < a \le \frac{9}{8}$, то $x \in [\frac{1-4a - \sqrt{9-8a}}{2}, \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}]$;
если $a > \frac{9}{8}$, то решений нет.

30.62. Решите неравенство:

a) $\sqrt{x+3} \ge \frac{x+3}{x+1}$;

б) $\sqrt{x+2} > \frac{4-x}{x-1}$;

В) $\sqrt{x+4} \le \frac{x+4}{x+2}$;

Г) $\sqrt{2x+3} < \frac{2x}{1-x}$.

а) $ \sqrt{x+3} \geqslant \frac{x+3}{x+1} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+3 \geqslant 0 \implies x \geqslant -3$.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
ОДЗ: $x \in [-3, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Рассмотрим случай, когда $x+3=0$, то есть $x=-3$.
Подставляем в неравенство: $\sqrt{-3+3} \geqslant \frac{-3+3}{-3+1} \implies \sqrt{0} \geqslant \frac{0}{-2} \implies 0 \geqslant 0$.
Неравенство верное, значит $x=-3$ является решением.

3. Рассмотрим случай, когда $x+3 > 0$, то есть $x > -3$.
В этом случае $\sqrt{x+3} > 0$, и мы можем разделить обе части неравенства на $\sqrt{x+3}$:
$1 \geqslant \frac{\sqrt{x+3}}{x+1}$.

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от знака знаменателя $x+1$.
Подслучай 3.1: $x+1 > 0 \implies x > -1$.
В этом случае можно умножить обе части неравенства на $x+1$, не меняя знака неравенства:
$x+1 \geqslant \sqrt{x+3}$.
Так как $x > -1$, обе части этого неравенства неотрицательны. Можем возвести их в квадрат:
$(x+1)^2 \geqslant x+3$
$x^2 + 2x + 1 \geqslant x+3$
$x^2 + x - 2 \geqslant 0$
$(x+2)(x-1) \geqslant 0$.
Решением этого квадратного неравенства являются $x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$.
Учитывая условие этого подслучая $x > -1$, получаем решение: $x \in [1, +\infty)$.

Подслучай 3.2: $x+1 < 0 \implies x < -1$.
Учитывая, что мы рассматриваем $x > -3$, этот подслучай соответствует интервалу $-3 < x < -1$.
Умножим обе части неравенства $1 \geqslant \frac{\sqrt{x+3}}{x+1}$ на $x+1$. Так как $x+1$ отрицательно, знак неравенства меняется на противоположный:
$x+1 \leqslant \sqrt{x+3}$.
На интервале $(-3, -1)$ левая часть $(x+1)$ отрицательна, а правая часть $\sqrt{x+3}$ неотрицательна. Неравенство вида "отрицательное число $\leqslant$ неотрицательное число" всегда истинно. Следовательно, все $x$ из интервала $(-3, -1)$ являются решениями.

4. Объединим все найденные решения:
- Из пункта 2: $x=-3$.
- Из подслучая 3.1: $x \in [1, +\infty)$.
- Из подслучая 3.2: $x \in (-3, -1)$.
Общее решение: $x \in [-3, -1) \cup [1, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3, -1) \cup [1, +\infty)$.

б) $ \sqrt{x+2} > \frac{4-x}{x-1} $

1. ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$ и $x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$.
ОДЗ: $x \in [-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Решение иррационального неравенства вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

Система 1: Правая часть отрицательна. Неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ, где $g(x) < 0$.$ \begin{cases} x \in [-2, 1) \cup (1, +\infty) \\ \frac{4-x}{x-1} < 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=4$. Нуль знаменателя: $x=1$.
Интервалы $(-\infty, 1)$, $(1, 4)$, $(4, +\infty)$. Знаки дроби: `−`, `+`, `−`.
$\frac{4-x}{x-1} < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$.
Пересекая с ОДЗ $x \in [-2, 1) \cup (1, +\infty)$, получаем решение для первой системы: $x \in [-2, 1) \cup (4, +\infty)$.

Система 2: Правая часть неотрицательна. Можно возвести обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x \in [-2, 1) \cup (1, +\infty) \\ \frac{4-x}{x-1} \ge 0 \\ x+2 > (\frac{4-x}{x-1})^2 \end{cases} $
Из предыдущего пункта, $\frac{4-x}{x-1} \ge 0$ при $x \in (1, 4]$. Пересекая с ОДЗ, получаем $x \in (1, 4]$.
Теперь на этом интервале решим третье неравенство:
$x+2 > \frac{(4-x)^2}{(x-1)^2}$
$(x+2)(x-1)^2 > (4-x)^2$
$(x+2)(x^2-2x+1) > 16-8x+x^2$
$x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2 > 16 - 8x + x^2$
$x^3 - 3x + 2 > 16 - 8x + x^2$
$x^3 - x^2 + 5x - 14 > 0$
Найдем корни многочлена $P(x) = x^3 - x^2 + 5x - 14$. Подбором находим корень $x=2$: $P(2)=8-4+10-14=0$.
Разделим многочлен на $(x-2)$: $(x^3 - x^2 + 5x - 14) : (x-2) = x^2+x+7$.
Квадратный трехчлен $x^2+x+7$ имеет дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = -27 < 0$, значит $x^2+x+7 > 0$ при всех $x$.
Неравенство $(x-2)(x^2+x+7) > 0$ равносильно $x-2 > 0$, то есть $x > 2$.
Пересекаем полученное решение $x>2$ с условием $x \in (1, 4]$. Получаем $x \in (2, 4]$.

3. Объединим решения обеих систем:
$x \in [-2, 1) \cup (4, +\infty)$ и $x \in (2, 4]$.
Объединяя эти множества, получаем: $x \in [-2, 1) \cup (2, 4] \cup (4, +\infty)$, что можно записать как $x \in [-2, 1) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2, 1) \cup (2, +\infty)$.

в) $ \sqrt{x+4} \le \frac{x+4}{x+2} $

1. ОДЗ: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$ и $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$.
ОДЗ: $x \in [-4, -2) \cup (-2, +\infty)$.

2. Рассмотрим случай $x=-4$.
Подставляем в неравенство: $\sqrt{-4+4} \le \frac{-4+4}{-4+2} \implies 0 \le 0$. Верно, $x=-4$ — решение.

3. Рассмотрим случай $x > -4$. Тогда $x+4 > 0$ и $\sqrt{x+4} > 0$.
Разделим обе части неравенства на $\sqrt{x+4}$:
$1 \le \frac{\sqrt{x+4}}{x+2}$.

Подслучай 3.1: $x+2 > 0 \implies x > -2$.
Умножим обе части на $x+2$ (знак не меняется):
$x+2 \le \sqrt{x+4}$.
На интервале $x > -2$ левая часть положительна, как и правая. Возводим в квадрат:
$(x+2)^2 \le x+4$
$x^2 + 4x + 4 \le x+4$
$x^2 + 3x \le 0$
$x(x+3) \le 0$.
Решение этого неравенства: $x \in [-3, 0]$.
Учитывая условие $x > -2$, получаем решение для этого подслучая: $x \in (-2, 0]$.

Подслучай 3.2: $x+2 < 0$. Учитывая $x > -4$, этот подслучай соответствует интервалу $-4 < x < -2$.
Умножим обе части неравенства $1 \le \frac{\sqrt{x+4}}{x+2}$ на $x+2$ (знак меняется):
$x+2 \ge \sqrt{x+4}$.
На интервале $(-4, -2)$ левая часть $(x+2)$ отрицательна, а правая $\sqrt{x+4}$ неотрицательна. Неравенство "отрицательное $\ge$ неотрицательное" не может быть верным. Решений в этом подслучае нет.

4. Объединим найденные решения:
- Из пункта 2: $x=-4$.
- Из подслучая 3.1: $x \in (-2, 0]$.
Общее решение: $x \in \{-4\} \cup (-2, 0]$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup (-2, 0]$.

г) $ \sqrt{2x+3} < \frac{2x}{1-x} $

1. ОДЗ: $2x+3 \ge 0 \implies x \ge -1.5$ и $1-x \ne 0 \implies x \ne 1$.
ОДЗ: $x \in [-1.5, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:
$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \quad (\text{из ОДЗ}) \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

Шаг 1: $g(x) > 0$
$\frac{2x}{1-x} > 0$.
Методом интервалов (нули $x=0, x=1$) находим, что это неравенство выполняется при $x \in (0, 1)$.

Шаг 2: Пересечем с ОДЗ.
Условие $x \in (0, 1)$ уже удовлетворяет ОДЗ $x \in [-1.5, 1) \cup (1, +\infty)$.
Значит, дальнейшее решение ищем на интервале $x \in (0, 1)$.

Шаг 3: Возводим в квадрат.
На интервале $x \in (0, 1)$ обе части исходного неравенства положительны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$2x+3 < \left(\frac{2x}{1-x}\right)^2$
$2x+3 < \frac{4x^2}{(1-x)^2}$
$(2x+3)(1-x)^2 < 4x^2$
$(2x+3)(1-2x+x^2) < 4x^2$
$2x - 4x^2 + 2x^3 + 3 - 6x + 3x^2 < 4x^2$
$2x^3 - x^2 - 4x + 3 < 4x^2$
$2x^3 - 5x^2 - 4x + 3 < 0$
Найдем корни многочлена $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 3$.
$P(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 - 4(-1) + 3 = -2-5+4+3=0$. Значит, $x=-1$ — корень.
Разделив $P(x)$ на $(x+1)$, получим $2x^2-7x+3$.
Корни квадратного трехчлена $2x^2-7x+3=0$ находим через дискриминант $D=49-24=25$:
$x_1 = \frac{7-5}{4} = 0.5$, $x_2 = \frac{7+5}{4} = 3$.
Таким образом, неравенство принимает вид $2(x+1)(x-0.5)(x-3) < 0$.
Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (0.5, 3)$.

Шаг 4: Пересекаем с интервалом из шага 2.
Нам нужно найти пересечение множества $x \in (-\infty, -1) \cup (0.5, 3)$ с интервалом $x \in (0, 1)$.
$(-\infty, -1) \cap (0, 1) = \emptyset$.
$(0.5, 3) \cap (0, 1) = (0.5, 1)$.

Итоговое решение: $x \in (0.5, 1)$.

Ответ: $x \in (0.5; 1)$.

30.63. Решите уравнение:

a) $\sqrt{1 - \tan x} = - \frac{1}{\cos x}$;

б) $\sqrt{4 + \cot x} - \frac{2}{\sin x} = 0$.

а) $\sqrt{1 - \tg x} = -\frac{1}{\cos x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - \tg x \ge 0$, откуда $\tg x \le 1$.
2. Знаменатель $\cos x$ не должен быть равен нулю, что уже учтено в определении тангенса.
3. Левая часть уравнения $\sqrt{1 - \tg x}$ является неотрицательной по определению арифметического квадратного корня. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $-\frac{1}{\cos x} \ge 0$. Это неравенство равносильно $\frac{1}{\cos x} \le 0$, что выполняется только при $\cos x < 0$.

Таким образом, для решения уравнения необходимо выполнение двух условий: $\tg x \le 1$ и $\cos x < 0$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{1 - \tg x})^2 = (-\frac{1}{\cos x})^2$

$1 - \tg x = \frac{1}{\cos^2 x}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ и подставим его в уравнение:

$1 - \tg x = 1 + \tg^2 x$

Перенесем все члены в правую часть:

$\tg^2 x + \tg x = 0$

Вынесем $\tg x$ за скобки:

$\tg x (\tg x + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\tg x = 0$.
Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\cos x < 0$.
$\cos(\pi n) = (-1)^n$. Неравенство $\cos x < 0$ выполняется, когда $n$ является нечетным числом. Следовательно, решения этого случая: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x + 1 = 0$, то есть $\tg x = -1$.
Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\cos x < 0$.
Косинус отрицателен во второй и третьей четвертях. Из серии решений $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ этому условию удовлетворяют углы во второй четверти. Это $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для этих углов $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$.

Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{4 + \ctg x} - \frac{2}{\sin x} = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$\sqrt{4 + \ctg x} = \frac{2}{\sin x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 + \ctg x \ge 0$, откуда $\ctg x \ge -4$.
2. Знаменатель $\sin x$ не должен быть равен нулю, что уже учтено в определении котангенса.
3. Левая часть уравнения $\sqrt{4 + \ctg x}$ неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{2}{\sin x} \ge 0$. Так как числитель $2$ положителен, это условие выполняется при $\sin x > 0$.

Таким образом, для решения уравнения необходимо выполнение двух условий: $\ctg x \ge -4$ и $\sin x > 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4 + \ctg x})^2 = (\frac{2}{\sin x})^2$

$4 + \ctg x = \frac{4}{\sin^2 x}$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$:

$4 + \ctg x = 4(1 + \ctg^2 x)$

$4 + \ctg x = 4 + 4\ctg^2 x$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$4\ctg^2 x - \ctg x = 0$

Вынесем $\ctg x$ за скобки:

$\ctg x (4\ctg x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\ctg x = 0$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\sin x > 0$.
При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\sin x = 1 > 0$, условие выполняется.
При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $\sin x = -1 < 0$, условие не выполняется.
Следовательно, подходят решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\ctg x - 1 = 0$, то есть $\ctg x = \frac{1}{4}$.
Решения этого уравнения: $x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\sin x > 0$.
Угол $\operatorname{arcctg}(\frac{1}{4})$ находится в первой четверти, где синус положителен. Значит, серия решений $x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + 2\pi k$ (углы в первой четверти) удовлетворяет условию $\sin x > 0$.
Серия решений $x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + (2k+1)\pi$ (углы в третьей четверти) не удовлетворяет условию $\sin x > 0$.
Следовательно, подходят решения $x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

30.64. Решите уравнение $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 4x + 29}} = \frac{7}{5}$

Данное уравнение:

$$ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 4x + 29}} = \frac{7}{5} $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, выражения под корнями в знаменателях должны быть строго больше нуля.

а) $x^2 - 4x + 5 > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $y = x^2 - 4x + 5$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный ($a=1 > 0$), парабола полностью лежит выше оси абсцисс, следовательно, выражение $x^2 - 4x + 5$ положительно при всех действительных значениях $x$.

б) $x^2 - 4x + 29 > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $y = x^2 - 4x + 29$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 16 - 116 = -100$.
Аналогично, так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 4x + 29$ также положительно при всех действительных значениях $x$.

Таким образом, область допустимых значений уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

2. Упрощение уравнения и введение замены

Заметим, что в обоих подкоренных выражениях присутствует общая часть $x^2 - 4x$. Для упрощения уравнения выделим полный квадрат в этих выражениях:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$
$x^2 - 4x + 29 = (x^2 - 4x + 4) + 25 = (x - 2)^2 + 25$
Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение: $$ \frac{1}{\sqrt{(x - 2)^2 + 1}} + \frac{2}{\sqrt{(x - 2)^2 + 25}} = \frac{7}{5} $$
Введем новую переменную. Пусть $t = (x - 2)^2$. Так как квадрат действительного числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$.
После замены уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{\sqrt{t + 1}} + \frac{2}{\sqrt{t + 25}} = \frac{7}{5} $$

3. Решение уравнения относительно t

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(t) = \frac{1}{\sqrt{t + 1}} + \frac{2}{\sqrt{t + 25}}$ при $t \ge 0$.
Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную по $t$: $$ f'(t) = \left( (t+1)^{-\frac{1}{2}} \right)' + \left( 2(t+25)^{-\frac{1}{2}} \right)' = -\frac{1}{2}(t+1)^{-\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{1}{2}(t+25)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{(t+1)^3}} - \frac{1}{\sqrt{(t+25)^3}} $$
Для всех $t \ge 0$ оба слагаемых в производной отрицательны, значит $f'(t) < 0$. Следовательно, функция $f(t)$ является строго убывающей на своей области определения $[0, +\infty)$.
Это означает, что уравнение $f(t) = \frac{7}{5}$ может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $t = 0$: $$ f(0) = \frac{1}{\sqrt{0 + 1}} + \frac{2}{\sqrt{0 + 25}} = \frac{1}{1} + \frac{2}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} $$
Мы видим, что $t=0$ является корнем уравнения. В силу строгой монотонности функции $f(t)$, этот корень является единственным.

4. Нахождение x

Теперь, когда мы нашли единственное значение для $t$, вернемся к исходной переменной $x$.
Мы делали замену $t = (x - 2)^2$. Подставим найденное значение $t=0$:
$(x - 2)^2 = 0$
Из этого следует, что $x - 2 = 0$, откуда получаем $x = 2$.

Ответ: $2$

30.65. При каких положительных значениях параметра $a$ во множество решений неравенства $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$ можно поместить два непересекающихся отрезка длиной $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ каждый?

Для решения задачи найдем сначала множество решений неравенства $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$ при условии, что параметр $a$ положителен ($a > 0$).

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2ax - x^2 \ge 0$ $x(2a - x) \ge 0$ Так как по условию $a > 0$, корнями уравнения $x(2a - x) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2a$. Графиком функции $y = 2ax - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, неравенство выполняется на отрезке между корнями. ОДЗ: $x \in [0, 2a]$.

2. Решение неравенства.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства.

Случай 1: Правая часть отрицательна.
$a - x < 0$, что эквивалентно $x > a$.
В этом случае левая часть неравенства (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна, а правая часть — отрицательна. Таким образом, неравенство $\sqrt{2ax - x^2} \ge a - x$ выполняется для всех $x$, для которых оно определено, то есть для всех $x$ из ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $x > a$ и $x \in [0, 2a]$. Это дает нам интервал $x \in (a, 2a]$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна.
$a - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le a$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства: $(\sqrt{2ax - x^2})^2 \ge (a - x)^2$ $2ax - x^2 \ge a^2 - 2ax + x^2$ $0 \ge 2x^2 - 4ax + a^2$ $2x^2 - 4ax + a^2 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 4ax + a^2 = 0$: $D = (-4a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a^2 = 16a^2 - 8a^2 = 8a^2$. $x_{1,2} = \frac{4a \pm \sqrt{8a^2}}{4} = \frac{4a \pm 2a\sqrt{2}}{4} = a \pm \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Корни: $x_1 = a - \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = a + \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Поскольку парабола $y = 2x^2 - 4ax + a^2$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $2x^2 - 4ax + a^2 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a + \frac{a\sqrt{2}}{2}]$.
Теперь необходимо учесть условие этого случая ($x \le a$) и ОДЗ. Пересечение $[a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a + \frac{a\sqrt{2}}{2}]$ с $x \le a$ дает отрезок $[a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a]$. Этот отрезок полностью входит в ОДЗ $[0, 2a]$, так как $a > 0$ влечет $a - \frac{a\sqrt{2}}{2} = a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$ и $a \le 2a$. Следовательно, решение во втором случае: $x \in [a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a]$.

3. Общее множество решений.
Объединим решения, полученные в обоих случаях: $(a, 2a] \cup [a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, a] = [a - \frac{a\sqrt{2}}{2}, 2a]$. Таким образом, множество решений исходного неравенства представляет собой один отрезок.

4. Нахождение значений параметра $a$.
Длина множества решений $L$ равна: $L = 2a - (a - \frac{a\sqrt{2}}{2}) = a + \frac{a\sqrt{2}}{2} = a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = a \frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
По условию, в это множество можно поместить два непересекающихся отрезка длиной $l = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ каждый. Это возможно тогда и только тогда, когда длина множества решений $L$ не меньше суммарной длины двух этих отрезков, то есть $2l$. $L \ge 2l$ $a \frac{2+\sqrt{2}}{2} \ge 2 \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2}$ $a \frac{2+\sqrt{2}}{2} \ge 2+\sqrt{2}$
Так как $2+\sqrt{2} > 0$, разделим обе части на $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$: $a \ge \frac{2+\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})/2}$ $a \ge 2$.
Найденные значения удовлетворяют начальному условию $a > 0$.

Ответ: $a \in [2; +\infty)$.

31.1. Сравните числа a и b, связанные заданным соотношением:

a) $a + 6 = b - 5;$

б) $a^3 - a^2(b + 1) + a = b;$

в) $b - \frac{b^2}{a} = -\frac{b}{a}$, $a \ne 0$, $b \ne 0;$

г) $\frac{1}{a^2 + 1} = \frac{b}{a^3 + a^2 + a + 1}.$

а)

Дано соотношение $a + 6 = b - 5$. Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, выразим их разность. Перенесем $a$ в правую часть равенства, а $-5$ — в левую:

$6 + 5 = b - a$

$11 = b - a$

Так как разность $b - a$ равна положительному числу $11$, это означает, что $b$ больше $a$.

Ответ: $a < b$.

б)

Дано соотношение $a^3 - a^2(b + 1) + a = b$. Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить разность $a - b$.

$a^3 - a^2b - a^2 + a = b$

Сгруппируем все члены в левой части:

$a^3 - a^2b - a^2 + a - b = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(a^3 - a^2b) - (a^2 - a + b) = 0$ - неудачная группировка.

Попробуем иначе. Сгруппируем члены с $b$ в одной части, а без $b$ — в другой:

$a^3 - a^2 + a = b + a^2b$

Вынесем $b$ за скобку в правой части:

$a^3 - a^2 + a = b(1 + a^2)$

Чтобы получить выражение для $a-b$, представим левую часть как $a(a^2 + 1) - a^2$:

$a(a^2 + 1) - a^2 = b(1 + a^2)$

Перенесем $b(1 + a^2)$ влево, а $-a^2$ вправо:

$a(a^2 + 1) - b(a^2 + 1) = a^2$

Вынесем общий множитель $(a^2 + 1)$:

$(a - b)(a^2 + 1) = a^2$

Выразим разность $a - b$:

$a - b = \frac{a^2}{a^2 + 1}$

Проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Знаменатель $a^2 + 1$ всегда строго положителен ($a^2 + 1 \ge 1$). Таким образом, вся дробь $\frac{a^2}{a^2 + 1}$ всегда неотрицательна.

Следовательно, $a - b \ge 0$, что означает $a \ge b$. Равенство достигается, когда $a^2 = 0$, то есть при $a=0$. Если $a=0$, то из исходного уравнения следует, что и $b=0$.

Ответ: $a \ge b$.

в)

Дано соотношение $b - \frac{b^2}{a} = -\frac{b}{a}$, при этом $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $a$, чтобы избавиться от знаменателя:

$a \cdot b - a \cdot \frac{b^2}{a} = a \cdot (-\frac{b}{a})$

$ab - b^2 = -b$

Перенесем все в левую часть:

$ab - b^2 + b = 0$

Вынесем $b$ за скобку:

$b(a - b + 1) = 0$

По условию $b \neq 0$, значит, мы можем разделить обе части уравнения на $b$. В результате получим:

$a - b + 1 = 0$

Отсюда находим разность $a - b$:

$a - b = -1$

Так как разность $a - b$ равна отрицательному числу, то $a$ меньше $b$.

Ответ: $a < b$.

г)

Дано соотношение $\frac{1}{a^2 + 1} = \frac{b}{a^3 + a^2 + a + 1}$. Разложим на множители знаменатель дроби в правой части методом группировки:

$a^3 + a^2 + a + 1 = (a^3 + a^2) + (a + 1) = a^2(a + 1) + 1(a + 1) = (a^2 + 1)(a + 1)$

Подставим разложенный знаменатель в исходное уравнение:

$\frac{1}{a^2 + 1} = \frac{b}{(a^2 + 1)(a + 1)}$

Область допустимых значений определяется условием, что знаменатели не равны нулю. Выражение $a^2+1$ всегда положительно. Значит, должно выполняться условие $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.

Умножим обе части равенства на $a^2 + 1$ (этот множитель не равен нулю):

$1 = \frac{b}{a + 1}$

Отсюда, умножив обе части на $a+1$, получаем:

$b = a + 1$

Найдем разность $b - a$:

$b - a = (a + 1) - a = 1$

Поскольку разность $b-a$ равна положительному числу $1$, то $b$ больше $a$.

Ответ: $a < b$.