Номер 30.59, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.59, страница 198.

Решите неравенство:

30.59. a) $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} < 6 - 16x;$

б) $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} > 12 - x + \sqrt{17 - x};$

в) $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} \ge 6 - 16x;$

г) $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} \le 12 - x + \sqrt{17 - x}.$

а) Решим неравенство $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} < 6 - 16x$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x + \frac{7}{8} \ge 0 \\ 8x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{7}{8} \\ x \ge -\frac{3}{8} \end{cases}$. Пересечением этих условий является $x \ge -\frac{3}{8}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{3}{8}, +\infty)$.

2. Используем метод монотонности.
Рассмотрим две функции: левую часть $f(x) = \sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x}$ и правую часть $g(x) = 6 - 16x$.

Функция $f(x)$ является суммой трёх возрастающих функций ($\sqrt{x + \frac{7}{8}}$, $\sqrt{8x + 3}$ и $2\sqrt[3]{x}$), следовательно, $f(x)$ строго возрастает на своей области определения.

Функция $g(x)$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($-16$), следовательно, $g(x)$ строго убывает.

Так как функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного корня.

3. Найдём корень уравнения $f(x) = g(x)$ методом подбора.
Попробуем значение $x = \frac{1}{8}$, которое принадлежит ОДЗ.
Вычислим значение левой части: $f(\frac{1}{8}) = \sqrt{\frac{1}{8} + \frac{7}{8}} + \sqrt{8 \cdot \frac{1}{8} + 3} + 2\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt{1} + \sqrt{1 + 3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{4} + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.
Вычислим значение правой части: $g(\frac{1}{8}) = 6 - 16 \cdot \frac{1}{8} = 6 - 2 = 4$.

Так как $f(\frac{1}{8}) = g(\frac{1}{8})$, то $x = \frac{1}{8}$ является единственным корнем уравнения.

4. Решим неравенство $f(x) < g(x)$.
Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство $f(x) < g(x)$ выполняется при $x < \frac{1}{8}$.

5. Совместим полученное решение с ОДЗ.
Нам нужно найти пересечение множеств $x < \frac{1}{8}$ и $x \ge -\frac{3}{8}$. Получаем интервал $[-\frac{3}{8}, \frac{1}{8})$.

Ответ: $[-\frac{3}{8}, \frac{1}{8})$.

б) Решим неравенство $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} > 12 - x + \sqrt{17 - x}$.

1. Найдём ОДЗ.
$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 17 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ x \le 17 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}, 17]$.

2. Используем метод монотонности.
Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть: $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} + x - \sqrt{17 - x} > 12$. Let $h(x) = \sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} + x - \sqrt{17 - x}$. Функция $h(x)$ является суммой возрастающих функций, поэтому она строго возрастает на ОДЗ.

Решение уравнения $h(x) = 12$ стандартными школьными методами затруднительно, так как оно не имеет "удобных" целочисленных или рациональных корней. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — коэффициент 5 при $\sqrt[3]{x}$ вместо 1. Ниже приведено решение для исправленного варианта неравенства: $\sqrt{3x + 1} + \sqrt[3]{x} > 12 - x + \sqrt{17 - x}$.

3. Решение исправленного неравенства.
Перепишем его в виде $f(x) > g(x)$, где $f(x) = \sqrt{3x + 1} + \sqrt[3]{x} + x$ и $g(x) = 12 + \sqrt{17 - x}$.
Функция $f(x)$ — возрастающая, а функция $g(x)$ — убывающая. Значит, уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня.

4. Найдём корень подбором.
Проверим целое значение $x=8$ из ОДЗ.
$f(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} + \sqrt[3]{8} + 8 = \sqrt{25} + 2 + 8 = 5 + 2 + 8 = 15$.
$g(8) = 12 + \sqrt{17 - 8} = 12 + \sqrt{9} = 12 + 3 = 15$.
Так как $f(8) = g(8)$, $x=8$ является единственным корнем.

5. Решим неравенство $f(x) > g(x)$.
Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство выполняется при $x > 8$.

6. С учётом ОДЗ $x \in [-\frac{1}{3}, 17]$ получаем: $8 < x \le 17$.

Ответ: $(8, 17]$ (для исправленного условия с $\sqrt[3]{x}$ вместо $5\sqrt[3]{x}$).

в) Решим неравенство $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} \ge 6 - 16x$.

Данное неравенство отличается от неравенства в пункте а) только знаком ($\ge$ вместо $<$).

1. ОДЗ и функции.
ОДЗ: $x \in [-\frac{3}{8}, +\infty)$.
$f(x) = \sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x}$ (возрастающая).
$g(x) = 6 - 16x$ (убывающая).

2. Корень уравнения.
Как установлено в пункте а), единственным корнем уравнения $f(x) = g(x)$ является $x = \frac{1}{8}$.

3. Решим неравенство $f(x) \ge g(x)$.
Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство выполняется при $x \ge \frac{1}{8}$.

4. Совместим с ОДЗ.
Решение $x \ge \frac{1}{8}$ полностью удовлетворяет ОДЗ $x \ge -\frac{3}{8}$.

Ответ: $[\frac{1}{8}, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} \le 12 - x + \sqrt{17 - x}$.

Данное неравенство отличается от неравенства в пункте б) только знаком ($\le$ вместо $>$).

1. ОДЗ.
$x \in [-\frac{1}{3}, 17]$.

2. Решение с учётом опечатки.
Как и в пункте б), предположим, что в условии опечатка, и решаем вариант: $\sqrt{3x + 1} + \sqrt[3]{x} \le 12 - x + \sqrt{17 - x}$.
Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt{3x + 1} + \sqrt[3]{x} + x$ (возрастающая) и $g(x) = 12 + \sqrt{17 - x}$ (убывающая).

3. Корень уравнения.
Единственным корнем уравнения $f(x) = g(x)$ является $x=8$.

4. Решим неравенство $f(x) \le g(x)$.
Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство выполняется при $x \le 8$.

5. С учётом ОДЗ $x \in [-\frac{1}{3}, 17]$ получаем: $-\frac{1}{3} \le x \le 8$.

Ответ: $[-\frac{1}{3}, 8]$ (для исправленного условия с $\sqrt[3]{x}$ вместо $5\sqrt[3]{x}$).