Номер 30.55, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.55, страница 197.

30.55. a) $\sin x \sqrt{\cos x} + \cos x \sqrt{\sin x} \le 0;$

б) $(\sin x + \cos x)\sqrt{\cos x + \cos x\sqrt{(\sin x + \cos x)}} \ge 0.$

а)

Решим неравенство $sin x \sqrt{cos x} + cos x \sqrt{sin x} \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$ \begin{cases} \cos x \ge 0 \\ \sin x \ge 0 \end{cases} $
Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в первой четверти тригонометрического круга, включая граничные точки.
Таким образом, ОДЗ: $2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Проанализируем левую часть неравенства в найденной ОДЗ.
В области $2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ мы имеем:
$\sin x \ge 0$, $\cos x \ge 0$, $\sqrt{\cos x} \ge 0$ и $\sqrt{\sin x} \ge 0$.
Следовательно, каждое слагаемое в выражении $sin x \sqrt{cos x} + cos x \sqrt{sin x}$ является произведением неотрицательных чисел, а значит, само неотрицательно. Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна.
То есть, для всех $x$ из ОДЗ выполняется неравенство:
$sin x \sqrt{cos x} + cos x \sqrt{sin x} \ge 0$.

3. Совместим исходное неравенство с полученным.
Мы должны одновременно удовлетворить двум условиям:
$ \begin{cases} sin x \sqrt{cos x} + cos x \sqrt{sin x} \le 0 & \text{(исходное)} \\ sin x \sqrt{cos x} + cos x \sqrt{sin x} \ge 0 & \text{(в ОДЗ)} \end{cases} $
Единственная возможность выполнить оба неравенства — это равенство выражения нулю:
$sin x \sqrt{cos x} + cos x \sqrt{sin x} = 0$.
Так как оба слагаемых неотрицательны, их сумма равна нулю только если каждое из них равно нулю. Однако достаточно, чтобы $sin x=0$ или $cos x=0$ (чтобы оба множителя в каждом слагаемом обратились в ноль).

4. Найдем решения уравнения.
- Если $\sin x = 0$, то (с учетом ОДЗ) $x = 2\pi k$. При этом $\cos(2\pi k) = 1$, что удовлетворяет ОДЗ.
- Если $\cos x = 0$, то (с учетом ОДЗ) $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При этом $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1$, что удовлетворяет ОДЗ.
Эти точки являются решениями неравенства.

Ответ: $x = 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $(sin x + cos x)\sqrt{cos x} + cos x\sqrt{sin x + cos x} \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$ \begin{cases} \cos x \ge 0 \\ \sin x + \cos x \ge 0 \end{cases} $
Первое неравенство, $\cos x \ge 0$, выполняется при $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$.
Преобразуем второе неравенство:
$\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Тогда $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \ge 0$, что равносильно $\sin(x + \frac{\pi}{4}) \ge 0$.
Это выполняется, когда $2\pi n \le x + \frac{\pi}{4} \le \pi + 2\pi n$, то есть $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n]$.
Найдем пересечение этих двух множеств:
$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \cap [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k] = [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$.
ОДЗ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Проанализируем левую часть неравенства в ОДЗ.
Внутри найденной области определения все подкоренные выражения неотрицательны.
Рассмотрим два случая.
- Случай 1: $x$ на границах ОДЗ.
Если $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, то $\cos x = 0$. Неравенство принимает вид $(\sin x + 0)\sqrt{0} + 0 \cdot \sqrt{\sin x + 0} \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верно.
Если $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, то $\sin x + \cos x = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot \sqrt{\cos x} + \cos x \sqrt{0} \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верно.
Значит, граничные точки ОДЗ являются решениями.

- Случай 2: $x$ внутри ОДЗ, то есть $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.
В этом интервале $\cos x > 0$ и $\sin x + \cos x > 0$.
Следовательно, все множители в левой части неравенства положительны:
$(\sin x + \cos x) > 0$, $\sqrt{\cos x} > 0$, $\cos x > 0$, $\sqrt{\sin x + \cos x} > 0$.
Первое слагаемое $(sin x + cos x)\sqrt{cos x}$ положительно.
Второе слагаемое $cos x\sqrt{sin x + cos x}$ положительно.
Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Таким образом, для всех $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ неравенство выполняется.

3. Объединяя результаты, получаем, что неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.