Номер 30.54, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.54, страница 197.

30.54. a) $x \sqrt{\frac{x+1}{x}} + (x+1) \sqrt{\frac{x}{x+1}} \le 2\sqrt{2};$

б) $(x-5) \sqrt{\frac{x+2}{x-5}} + (x+2) \sqrt{\frac{x-5}{x+2}} \ge 4\sqrt{2}.$

а) $x\sqrt{\frac{x+1}{x}} + (x+1)\sqrt{\frac{x}{x+1}} \le 2\sqrt{2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю.
Для первого слагаемого: $\frac{x+1}{x} \ge 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$.
Для второго слагаемого: $\frac{x}{x+1} \ge 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup [0, +\infty)$.
Область допустимых значений является пересечением этих множеств: ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства. Воспользуемся свойством $a\sqrt{\frac{b}{a}} = \text{sign}(a)\sqrt{ab}$, которое верно при $ab > 0$. На ОДЗ произведение $x(x+1) > 0$.
Левая часть неравенства принимает вид: $\text{sign}(x)\sqrt{x(x+1)} + \text{sign}(x+1)\sqrt{x(x+1)}$.
Рассмотрим два случая, соответствующие ОДЗ.

Случай 1: $x > 0$.
В этом случае $x > 0$ и $x+1 > 0$, поэтому $\text{sign}(x) = 1$ и $\text{sign}(x+1) = 1$.
Неравенство принимает вид:
$\sqrt{x(x+1)} + \sqrt{x(x+1)} \le 2\sqrt{2}$
$2\sqrt{x^2+x} \le 2\sqrt{2}$
$\sqrt{x^2+x} \le \sqrt{2}$
Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:
$x^2+x \le 2$
$x^2+x-2 \le 0$
Корни квадратного трехчлена $x^2+x-2$ равны $x_1=1$ и $x_2=-2$.
Решением неравенства является промежуток $[-2, 1]$.
Учитывая условие $x > 0$, получаем решение для этого случая: $x \in (0, 1]$.

Случай 2: $x < -1$.
В этом случае $x < 0$ и $x+1 < 0$, поэтому $\text{sign}(x) = -1$ и $\text{sign}(x+1) = -1$.
Неравенство принимает вид:
$-\sqrt{x(x+1)} - \sqrt{x(x+1)} \le 2\sqrt{2}$
$-2\sqrt{x^2+x} \le 2\sqrt{2}$
$\sqrt{x^2+x} \ge -\sqrt{2}$
Это неравенство верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка $(-\infty, -1)$, так как квадратный корень всегда неотрицателен.
Следовательно, решением в этом случае является весь промежуток $(-\infty, -1)$.

3. Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.
Ответ: $(-\infty, -1) \cup (0, 1]$.

б) $(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} + (x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} \ge 4\sqrt{2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Для первого слагаемого: $\frac{x+2}{x-5} \ge 0$, откуда $x \in (-\infty, -2] \cup (5, +\infty)$.
Для второго слагаемого: $\frac{x-5}{x+2} \ge 0$, откуда $x \in (-\infty, -2) \cup [5, +\infty)$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty)$.

2. Упростим левую часть неравенства, как и в предыдущем задании: $\text{sign}(x-5)\sqrt{(x-5)(x+2)} + \text{sign}(x+2)\sqrt{(x-5)(x+2)}$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x > 5$.
В этом случае $x-5 > 0$ и $x+2 > 0$, поэтому $\text{sign}(x-5)=1$ и $\text{sign}(x+2)=1$.
Неравенство принимает вид:
$\sqrt{(x-5)(x+2)} + \sqrt{(x-5)(x+2)} \ge 4\sqrt{2}$
$2\sqrt{x^2-3x-10} \ge 4\sqrt{2}$
$\sqrt{x^2-3x-10} \ge 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$
Возводим в квадрат обе неотрицательные части:
$x^2-3x-10 \ge 8$
$x^2-3x-18 \ge 0$
Корни уравнения $x^2-3x-18=0$ равны $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Решением неравенства является $(-\infty, -3] \cup [6, +\infty)$.
С учетом условия $x > 5$, получаем решение для этого случая: $x \in [6, +\infty)$.

Случай 2: $x < -2$.
В этом случае $x-5 < 0$ и $x+2 < 0$, поэтому $\text{sign}(x-5)=-1$ и $\text{sign}(x+2)=-1$.
Неравенство принимает вид:
$-\sqrt{(x-5)(x+2)} - \sqrt{(x-5)(x+2)} \ge 4\sqrt{2}$
$-2\sqrt{x^2-3x-10} \ge 4\sqrt{2}$
$\sqrt{x^2-3x-10} \le -2\sqrt{2}$
Это неравенство не имеет решений, так как левая часть неотрицательна.

3. Объединяем результаты. Решение есть только в первом случае.
Ответ: $[6, +\infty)$.