Номер 31.1, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.1, страница 198.

31.1. Сравните числа a и b, связанные заданным соотношением:

a) $a + 6 = b - 5;$

б) $a^3 - a^2(b + 1) + a = b;$

в) $b - \frac{b^2}{a} = -\frac{b}{a}$, $a \ne 0$, $b \ne 0;$

г) $\frac{1}{a^2 + 1} = \frac{b}{a^3 + a^2 + a + 1}.$

а)

Дано соотношение $a + 6 = b - 5$. Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, выразим их разность. Перенесем $a$ в правую часть равенства, а $-5$ — в левую:

$6 + 5 = b - a$

$11 = b - a$

Так как разность $b - a$ равна положительному числу $11$, это означает, что $b$ больше $a$.

Ответ: $a < b$.

б)

Дано соотношение $a^3 - a^2(b + 1) + a = b$. Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить разность $a - b$.

$a^3 - a^2b - a^2 + a = b$

Сгруппируем все члены в левой части:

$a^3 - a^2b - a^2 + a - b = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(a^3 - a^2b) - (a^2 - a + b) = 0$ - неудачная группировка.

Попробуем иначе. Сгруппируем члены с $b$ в одной части, а без $b$ — в другой:

$a^3 - a^2 + a = b + a^2b$

Вынесем $b$ за скобку в правой части:

$a^3 - a^2 + a = b(1 + a^2)$

Чтобы получить выражение для $a-b$, представим левую часть как $a(a^2 + 1) - a^2$:

$a(a^2 + 1) - a^2 = b(1 + a^2)$

Перенесем $b(1 + a^2)$ влево, а $-a^2$ вправо:

$a(a^2 + 1) - b(a^2 + 1) = a^2$

Вынесем общий множитель $(a^2 + 1)$:

$(a - b)(a^2 + 1) = a^2$

Выразим разность $a - b$:

$a - b = \frac{a^2}{a^2 + 1}$

Проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Знаменатель $a^2 + 1$ всегда строго положителен ($a^2 + 1 \ge 1$). Таким образом, вся дробь $\frac{a^2}{a^2 + 1}$ всегда неотрицательна.

Следовательно, $a - b \ge 0$, что означает $a \ge b$. Равенство достигается, когда $a^2 = 0$, то есть при $a=0$. Если $a=0$, то из исходного уравнения следует, что и $b=0$.

Ответ: $a \ge b$.

в)

Дано соотношение $b - \frac{b^2}{a} = -\frac{b}{a}$, при этом $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $a$, чтобы избавиться от знаменателя:

$a \cdot b - a \cdot \frac{b^2}{a} = a \cdot (-\frac{b}{a})$

$ab - b^2 = -b$

Перенесем все в левую часть:

$ab - b^2 + b = 0$

Вынесем $b$ за скобку:

$b(a - b + 1) = 0$

По условию $b \neq 0$, значит, мы можем разделить обе части уравнения на $b$. В результате получим:

$a - b + 1 = 0$

Отсюда находим разность $a - b$:

$a - b = -1$

Так как разность $a - b$ равна отрицательному числу, то $a$ меньше $b$.

Ответ: $a < b$.

г)

Дано соотношение $\frac{1}{a^2 + 1} = \frac{b}{a^3 + a^2 + a + 1}$. Разложим на множители знаменатель дроби в правой части методом группировки:

$a^3 + a^2 + a + 1 = (a^3 + a^2) + (a + 1) = a^2(a + 1) + 1(a + 1) = (a^2 + 1)(a + 1)$

Подставим разложенный знаменатель в исходное уравнение:

$\frac{1}{a^2 + 1} = \frac{b}{(a^2 + 1)(a + 1)}$

Область допустимых значений определяется условием, что знаменатели не равны нулю. Выражение $a^2+1$ всегда положительно. Значит, должно выполняться условие $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.

Умножим обе части равенства на $a^2 + 1$ (этот множитель не равен нулю):

$1 = \frac{b}{a + 1}$

Отсюда, умножив обе части на $a+1$, получаем:

$b = a + 1$

Найдем разность $b - a$:

$b - a = (a + 1) - a = 1$

Поскольку разность $b-a$ равна положительному числу $1$, то $b$ больше $a$.

Ответ: $a < b$.