Номер 31.8, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.8, страница 199.

31.8. Докажите:

а) если $a + b \ge 0$, то $ab(a + b) \le a^3 + b^3$.

б) если $a + b \ge 0$, $a \ne 0$, $b \ne 0$, то $\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$;

a) Требуется доказать, что если $a + b \ge 0$, то $ab(a + b) \le a^3 + b^3$.
Для доказательства преобразуем неравенство. Перенесем все члены в правую часть:
$a^3 + b^3 - ab(a + b) \ge 0$
Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) \ge 0$
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)((a^2 - ab + b^2) - ab) \ge 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(a + b)(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Таким образом, мы приходим к неравенству:
$(a + b)(a - b)^2 \ge 0$
Это неравенство справедливо, так как по условию задачи $a + b \ge 0$, а множитель $(a - b)^2$ как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a - b)^2 \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно.
Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Доказано.

б) Требуется доказать, что если $a + b \ge 0$, $a \ne 0$, $b \ne 0$, то $\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Поскольку по условию $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то $a^2b^2$ является строго положительным числом. Умножим обе части неравенства на $a^2b^2 > 0$, при этом знак неравенства не изменится:
$a^2b^2 \left( \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \right) \ge a^2b^2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)$
Раскроем скобки в обеих частях:
$\frac{a^3b^2}{b^2} + \frac{a^2b^3}{a^2} \ge \frac{a^2b^2}{a} + \frac{a^2b^2}{b}$
После сокращения получаем:
$a^3 + b^3 \ge ab^2 + a^2b$
Вынесем общий множитель $ab$ за скобки в правой части неравенства:
$a^3 + b^3 \ge ab(b + a)$
Мы получили неравенство $a^3 + b^3 \ge ab(a + b)$, справедливость которого была доказана в пункте a) при условии $a + b \ge 0$.
Так как все преобразования были равносильными, а полученное неравенство верно при заданных условиях, то и исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.