Номер 31.14, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.14, страница 200.

Докажите, что заданное неравенство выполняется при указанных условиях:

31.14. а) $a + b \ge 2\sqrt{ab}$, $a \ge 0$, $b \ge 0$;

б) $a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$, $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$;

в) $(c + a)(a + b)(b + c) \ge 8abc$, $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$;

г) $(1 - a)(1 - b)(1 - c) \ge 8abc$, $a + b + c = 1$, $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$.

а) Докажем неравенство $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ при условиях $a \ge 0, b \ge 0$. Это известное неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел. Его можно доказать с помощью равносильных преобразований. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$
Поскольку по условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, мы можем представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $b$ как $(\sqrt{b})^2$. Тогда неравенство примет вид:
$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$
Выражение в левой части является полным квадратом разности:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$
Данное неравенство является истинным, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$ при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$. Воспользуемся неравенством из пункта а) для каждой пары переменных:
$a + b \ge 2\sqrt{ab}$
$b + c \ge 2\sqrt{bc}$
$c + a \ge 2\sqrt{ca}$
Сложим эти три верных неравенства:
$(a + b) + (b + c) + (c + a) \ge 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ca}$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2a + 2b + 2c \ge 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})$
Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0):
$a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $(c + a)(a + b)(b + c) \ge 8abc$ при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$. Вновь воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом $x + y \ge 2\sqrt{xy}$ для неотрицательных $x$ и $y$. Применим его к каждому из множителей в левой части доказываемого неравенства:
$c + a \ge 2\sqrt{ca}$
$a + b \ge 2\sqrt{ab}$
$b + c \ge 2\sqrt{bc}$
Так как все части этих трех неравенств неотрицательны (поскольку $a, b, c \ge 0$), мы можем их перемножить, сохранив знак неравенства:
$(c + a)(a + b)(b + c) \ge (2\sqrt{ca})(2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})$
Упростим правую часть полученного неравенства:
$(c + a)(a + b)(b + c) \ge 8\sqrt{ca \cdot ab \cdot bc} = 8\sqrt{a^2b^2c^2}$
Поскольку $a, b, c$ неотрицательны, $\sqrt{a^2b^2c^2} = abc$. Таким образом, мы приходим к искомому неравенству:
$(c + a)(a + b)(b + c) \ge 8abc$
Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $(1 - a)(1 - b)(1 - c) \ge 8abc$ при условиях $a + b + c = 1$ и $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$. Используем заданное условие $a + b + c = 1$ для преобразования выражений в скобках в левой части неравенства:
$1 - a = (a + b + c) - a = b + c$
$1 - b = (a + b + c) - b = a + c$
$1 - c = (a + b + c) - c = a + b$
Теперь подставим эти выражения обратно в левую часть доказываемого неравенства:
$(1 - a)(1 - b)(1 - c) = (b + c)(a + c)(a + b)$
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:
$(b + c)(a + c)(a + b) \ge 8abc$
Это неравенство было доказано в пункте в) для любых неотрицательных $a, b, c$. Так как по условию $a, b, c \ge 0$, это неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.