Номер 31.16, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.16, страница 200.

Докажите неравенство:

31.16. а) $\sqrt{p+q} \leq \sqrt{p} + \sqrt{q}$; $p > 0, q > 0;$

б) $\sqrt{\frac{p+q}{2}} \geq \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{2}$; $p > 0, q > 0;$

в) $\sqrt{p+q+r} \leq \sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r}$; $p > 0, q > 0, r > 0;$

г) $\sqrt{\frac{p^2+q^2+r^2}{3}} \geq \frac{p+q+r}{3}$; $p > 0, q > 0, r > 0.$

а) Требуется доказать неравенство $\sqrt{p + q} \le \sqrt{p} + \sqrt{q}$ для $p > 0, q > 0$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны (так как $p > 0$ и $q > 0$), мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{p + q})^2 \le (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2$

Выполним возведение в квадрат:

$p + q \le (\sqrt{p})^2 + 2\sqrt{p}\sqrt{q} + (\sqrt{q})^2$

$p + q \le p + 2\sqrt{pq} + q$

Вычтем из обеих частей $p + q$:

$0 \le 2\sqrt{pq}$

Так как по условию $p > 0$ и $q > 0$, то их произведение $pq > 0$, и, следовательно, корень $\sqrt{pq} > 0$. Умножение на 2 не меняет знака. Таким образом, неравенство $0 \le 2\sqrt{pq}$ является верным. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $\sqrt{\frac{p + q}{2}} \ge \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{2}$ для $p > 0, q > 0$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{\frac{p + q}{2}})^2 \ge (\frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{2})^2$

$\frac{p + q}{2} \ge \frac{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^2}{4}$

$\frac{p + q}{2} \ge \frac{p + 2\sqrt{pq} + q}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(p + q) \ge p + 2\sqrt{pq} + q$

$2p + 2q \ge p + q + 2\sqrt{pq}$

Перенесем все члены в левую часть:

$2p + 2q - p - q - 2\sqrt{pq} \ge 0$

$p - 2\sqrt{pq} + q \ge 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Требуется доказать неравенство $\sqrt{p + q + r} \le \sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r}$ для $p > 0, q > 0, r > 0$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{p + q + r})^2 \le (\sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r})^2$

$p + q + r \le (\sqrt{p})^2 + (\sqrt{q})^2 + (\sqrt{r})^2 + 2\sqrt{p}\sqrt{q} + 2\sqrt{p}\sqrt{r} + 2\sqrt{q}\sqrt{r}$

$p + q + r \le p + q + r + 2\sqrt{pq} + 2\sqrt{pr} + 2\sqrt{qr}$

Вычтем из обеих частей $p + q + r$:

$0 \le 2\sqrt{pq} + 2\sqrt{pr} + 2\sqrt{qr}$

По условию $p, q, r$ — положительные числа. Значит, произведения $pq, pr, qr$ также положительны. Корни из них $\sqrt{pq}, \sqrt{pr}, \sqrt{qr}$ являются положительными числами. Сумма положительных чисел всегда положительна. Таким образом, неравенство является верным. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Требуется доказать неравенство $\sqrt{\frac{p^2 + q^2 + r^2}{3}} \ge \frac{p + q + r}{3}$ для $p > 0, q > 0, r > 0$.

Это неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом. Обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{\frac{p^2 + q^2 + r^2}{3}})^2 \ge (\frac{p + q + r}{3})^2$

$\frac{p^2 + q^2 + r^2}{3} \ge \frac{(p + q + r)^2}{9}$

Раскроем квадрат суммы в правой части:

$\frac{p^2 + q^2 + r^2}{3} \ge \frac{p^2 + q^2 + r^2 + 2pq + 2pr + 2qr}{9}$

Умножим обе части на 9:

$3(p^2 + q^2 + r^2) \ge p^2 + q^2 + r^2 + 2pq + 2pr + 2qr$

Перенесем все члены в левую часть:

$3p^2 + 3q^2 + 3r^2 - p^2 - q^2 - r^2 - 2pq - 2pr - 2qr \ge 0$

$2p^2 + 2q^2 + 2r^2 - 2pq - 2pr - 2qr \ge 0$

Сгруппируем члены, чтобы выделить полные квадраты:

$(p^2 - 2pq + q^2) + (p^2 - 2pr + r^2) + (q^2 - 2qr + r^2) \ge 0$

$(p - q)^2 + (p - r)^2 + (q - r)^2 \ge 0$

Сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна. Это неравенство верно при любых значениях $p, q, r$. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.