Номер 31.21, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.21, страница 201.

31.21. Пусть $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, $y \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Докажите, что:

а) $\sin \frac{x + y}{2} \geqslant \frac{\sin x + \sin y}{2}$;

б) $\operatorname{tg} \frac{x + y}{2} \leqslant \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{2}$;

в) $\cos \frac{x + y}{2} \geqslant \frac{\cos x + \cos y}{2}$;

г) $\operatorname{ctg} \frac{x + y}{2} \leqslant \frac{\operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y}{2}$.

Все четыре неравенства являются следствием свойства выпуклости (или вогнутости) соответствующих тригонометрических функций и могут быть доказаны с помощью неравенства Йенсена. Неравенство Йенсена для функции $f(x)$ и двух точек $x$ и $y$ утверждает, что:

• $f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$, если функция $f(x)$ выпукла вниз на рассматриваемом интервале (её вторая производная $f''(x) \ge 0$).
• $f\left(\frac{x+y}{2}\right) \ge \frac{f(x)+f(y)}{2}$, если функция $f(x)$ выпукла вверх на рассматриваемом интервале (её вторая производная $f''(x) \le 0$).

Во всех случаях рассматривается интервал $x, y \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

а)

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x$. Найдем её вторую производную:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$f''(x) = (\cos x)' = -\sin x$

На интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ значение $\sin x > 0$, следовательно, $f''(x) = -\sin x < 0$.

Так как вторая производная отрицательна, функция $f(x) = \sin x$ является выпуклой вверх на данном интервале.

Согласно неравенству Йенсена для выпуклых вверх функций:

$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \ge \frac{f(x)+f(y)}{2}$

Подставляя $f(x) = \sin x$, получаем:

$\sin\frac{x+y}{2} \ge \frac{\sin x + \sin y}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\sin\frac{x+y}{2} \ge \frac{\sin x + \sin y}{2}$ доказано.

б)

Рассмотрим функцию $f(x) = \mathrm{tg}\,x$. Найдем её вторую производную:

$f'(x) = (\mathrm{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$f''(x) = \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)' = (\cos^{-2} x)' = -2\cos^{-3} x \cdot (-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

На интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ значения $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$. Следовательно, $f''(x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x} > 0$.

Так как вторая производная положительна, функция $f(x) = \mathrm{tg}\,x$ является выпуклой вниз на данном интервале.

Согласно неравенству Йенсена для выпуклых вниз функций:

$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$

Подставляя $f(x) = \mathrm{tg}\,x$, получаем:

$\mathrm{tg}\frac{x+y}{2} \le \frac{\mathrm{tg}\,x + \mathrm{tg}\,y}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\mathrm{tg}\frac{x+y}{2} \le \frac{\mathrm{tg}\,x + \mathrm{tg}\,y}{2}$ доказано.

в)

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x$. Найдем её вторую производную:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$

На интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ значение $\cos x > 0$, следовательно, $f''(x) = -\cos x < 0$.

Так как вторая производная отрицательна, функция $f(x) = \cos x$ является выпуклой вверх на данном интервале.

Согласно неравенству Йенсена для выпуклых вверх функций:

$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \ge \frac{f(x)+f(y)}{2}$

Подставляя $f(x) = \cos x$, получаем:

$\cos\frac{x+y}{2} \ge \frac{\cos x + \cos y}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\cos\frac{x+y}{2} \ge \frac{\cos x + \cos y}{2}$ доказано.

г)

Рассмотрим функцию $f(x) = \mathrm{ctg}\,x$. Найдем её вторую производную:

$f'(x) = (\mathrm{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

$f''(x) = \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)' = (-\sin^{-2} x)' = -(-2)\sin^{-3} x \cdot (\cos x) = \frac{2\cos x}{\sin^3 x}$

На интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ значения $\cos x > 0$ и $\sin x > 0$. Следовательно, $f''(x) = \frac{2\cos x}{\sin^3 x} > 0$.

Так как вторая производная положительна, функция $f(x) = \mathrm{ctg}\,x$ является выпуклой вниз на данном интервале.

Согласно неравенству Йенсена для выпуклых вниз функций:

$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$

Подставляя $f(x) = \mathrm{ctg}\,x$, получаем:

$\mathrm{ctg}\frac{x+y}{2} \le \frac{\mathrm{ctg}\,x + \mathrm{ctg}\,y}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\mathrm{ctg}\frac{x+y}{2} \le \frac{\mathrm{ctg}\,x + \mathrm{ctg}\,y}{2}$ доказано.