Номер 31.18, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.18, страница 200.

31.18. Докажите, что для любого натурального числа $n \ge 2$ выполняется неравенство:

a) $\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + ... + \sqrt{n} > n;$

б) $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}.$

а) Докажем неравенство $\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{n} > n$ для любого натурального числа $n \ge 2$.

Рассмотрим левую часть неравенства. Это сумма, состоящая из $n$ слагаемых: $S_n = \sqrt{1} + \sqrt{2} + \ldots + \sqrt{n}$.

Первое слагаемое этой суммы равно $\sqrt{1} = 1$. Каждое следующее слагаемое $\sqrt{k}$ (где $k$ – натуральное число от 2 до $n$) строго больше 1, так как для $k > 1$ выполняется $\sqrt{k} > \sqrt{1} = 1$.

Поскольку по условию $n \ge 2$, в сумме обязательно присутствует хотя бы одно слагаемое, которое строго больше 1 (например, $\sqrt{2}$).

Давайте оценим сумму $S_n$ снизу, сравнив ее с суммой $n$ единиц:

$\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{n} > 1 + 1 + 1 + \ldots + 1$

В правой части неравенства стоит сумма из $n$ единиц, которая равна $n$. Неравенство является строгим, так как мы заменили все слагаемые $\sqrt{k}$ (при $k \ge 2$) на 1, а они строго больше 1. Поскольку $n \ge 2$, такое слагаемое существует.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{n} > n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}$ для любого натурального числа $n \ge 2$.

Рассмотрим сумму в левой части неравенства: $S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n}$.

Эта сумма состоит из $2n - (n+1) + 1 = n$ слагаемых.

Найдем наименьшее слагаемое в этой сумме. Знаменатели слагаемых $n+1, n+2, \ldots, 2n$ возрастают, следовательно, сами дроби убывают. Наименьшим слагаемым будет последнее, у которого самый большой знаменатель: $\frac{1}{2n}$.

Каждое слагаемое в сумме, кроме последнего, строго больше $\frac{1}{2n}$. Например, $\frac{1}{n+1} > \frac{1}{2n}$, $\frac{1}{n+2} > \frac{1}{2n}$ и так далее, вплоть до $\frac{1}{2n-1} > \frac{1}{2n}$. Последнее слагаемое равно $\frac{1}{2n}$.

Заменим каждое из $n$ слагаемых в исходной сумме на наименьшее значение $\frac{1}{2n}$. Так как по условию $n \ge 2$, в сумме есть хотя бы одно слагаемое (например, первое, $\frac{1}{n+1}$), которое строго больше $\frac{1}{2n}$ (так как $n+1 < 2n$ при $n > 1$). Поэтому вся сумма будет строго больше, чем сумма $n$ слагаемых, равных $\frac{1}{2n}$.

$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \underbrace{\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \ldots + \frac{1}{2n}}_{n \text{ слагаемых}}$

Сумма в правой части этого неравенства равна:

$n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$

Следовательно, мы доказали, что $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}$.

Ответ: Неравенство доказано.