Номер 31.22, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.22, страница 201.

31.22. a) Пусть $n$ и $k$ — некоторые натуральные числа, большие или равные 2. Докажите, что $\sin^n x + \cos^k x \leq 1$ при всех действительных значениях $x$.

б) Пусть $\alpha$ и $\beta$ — некоторые положительные действительные числа, меньшие 1. Докажите, что $\sin^\alpha x + \cos^\beta x \geq 1$ при всех $x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.

а)

Нам нужно доказать, что для любых натуральных чисел $n \ge 2$ и $k \ge 2$ и для любого действительного $x$ выполняется неравенство $\sin^n x + \cos^k x \le 1$.

Рассмотрим значения $\sin x$ и $\cos x$. Для любого действительного $x$ выполняются неравенства:
$-1 \le \sin x \le 1$
$-1 \le \cos x \le 1$

Отсюда следует, что $\sin^2 x \in [0, 1]$ и $\cos^2 x \in [0, 1]$.

Сравним $\sin^n x$ и $\sin^2 x$.

Пусть $u = \sin x$. Тогда $u \in [-1, 1]$.
1. Если $u \in [0, 1]$, то при $n \ge 2$ имеем $u^n \le u^2$, так как возведение в большую степень числа из отрезка $[0, 1]$ не увеличивает его.
2. Если $u \in [-1, 0)$, то:

• Если $n$ — четное число ($n \ge 2$), то $\sin^n x = (\sin x)^n = |\sin x|^n$. Так как $|\sin x| \in (0, 1]$, то $|\sin x|^n \le |\sin x|^2 = \sin^2 x$. Следовательно, $\sin^n x \le \sin^2 x$.
• Если $n$ — нечетное число ($n \ge 3$), то $\sin^n x$ будет отрицательным, в то время как $\sin^2 x$ всегда неотрицательно. Следовательно, $\sin^n x < 0 \le \sin^2 x$.

Таким образом, для любого действительного $x$ и натурального $n \ge 2$ выполняется неравенство $\sin^n x \le \sin^2 x$.

Аналогично, сравнивая $\cos^k x$ и $\cos^2 x$ при $k \ge 2$, мы приходим к выводу, что $\cos^k x \le \cos^2 x$ для любого действительного $x$.

Теперь сложим полученные неравенства:
$\sin^n x + \cos^k x \le \sin^2 x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$\sin^n x + \cos^k x \le 1$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Нам нужно доказать, что для любых положительных действительных чисел $\alpha < 1$ и $\beta < 1$ и для любого $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin^\alpha x + \cos^\beta x \ge 1$.

Рассмотрим $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке $\sin x$ и $\cos x$ принимают значения из отрезка $[0, 1]$.
$0 \le \sin x \le 1$
$0 \le \cos x \le 1$

Рассмотрим свойство степенной функции: для любого числа $y \in [0, 1]$ и любых положительных показателей степени $p_1$ и $p_2$ таких, что $p_1 < p_2$, выполняется неравенство $y^{p_1} \ge y^{p_2}$. Равенство достигается при $y=0$ или $y=1$.

Сравним $\sin^\alpha x$ и $\sin^2 x$.
По условию, $0 < \alpha < 1$. Таким образом, $\alpha < 2$. Применяя указанное выше свойство для $y = \sin x$, $p_1 = \alpha$ и $p_2 = 2$, получаем:
$\sin^\alpha x \ge \sin^2 x$

Аналогично сравним $\cos^\beta x$ и $\cos^2 x$.
По условию, $0 < \beta < 1$. Таким образом, $\beta < 2$. Применяя свойство для $y = \cos x$, $p_1 = \beta$ и $p_2 = 2$, получаем:
$\cos^\beta x \ge \cos^2 x$

Сложим полученные неравенства:
$\sin^\alpha x + \cos^\beta x \ge \sin^2 x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$\sin^\alpha x + \cos^\beta x \ge 1$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.