Номер 31.26, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.26, страница 202.

Докажите неравенство:

31.26. a) $1 + \ln x \le x$ при всех $x \in (0; +\infty)$;

б) $e^x \ge 1 + x$ при всех $x \in \mathbf{R}$.

а) Для доказательства неравенства $1 + \ln x \le x$ при всех $x \in (0; +\infty)$ рассмотрим вспомогательную функцию.

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить $1 + \ln x - x \le 0$.

Введем функцию $f(x) = 1 + \ln x - x$. Область определения этой функции $D(f) = (0; +\infty)$ совпадает с условием задачи. Нам нужно доказать, что $f(x) \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Для этого найдем наибольшее значение функции с помощью производной. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (1 + \ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1$.

Точка $x=1$ принадлежит области определения $(0; +\infty)$.

Определим знаки производной. Если $x \in (0; 1)$, то $f'(x) = \frac{1-x}{x} > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает. Если $x \in (1; +\infty)$, то $f'(x) = \frac{1-x}{x} < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.

Таким образом, в точке $x=1$ функция $f(x)$ достигает своего единственного экстремума, который является глобальным максимумом.

Найдем это максимальное значение:

$f_{max} = f(1) = 1 + \ln(1) - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$.

Поскольку максимальное значение функции $f(x)$ на всей области определения равно 0, то для любого $x \in (0; +\infty)$ выполняется неравенство $f(x) \le 0$.

Следовательно, $1 + \ln x - x \le 0$, что равносильно $1 + \ln x \le x$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $e^x \ge 1 + x$ при всех $x \in \mathbb{R}$ используем аналогичный подход.

Перенесем все члены в одну сторону: $e^x - 1 - x \ge 0$.

Введем функцию $g(x) = e^x - 1 - x$. Область определения этой функции $D(g) = (-\infty; +\infty)$, то есть все действительные числа $\mathbb{R}$. Нам нужно доказать, что $g(x) \ge 0$ для всех действительных $x$.

Найдем наименьшее значение функции, исследуя ее с помощью производной. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (e^x - 1 - x)' = e^x - 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$g'(x) = 0 \Rightarrow e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$.

Определим знаки производной. Если $x < 0$, то $e^x < 1$, и $g'(x) < 0$, следовательно, функция $g(x)$ убывает. Если $x > 0$, то $e^x > 1$, и $g'(x) > 0$, следовательно, функция $g(x)$ возрастает.

Таким образом, в точке $x=0$ функция $g(x)$ достигает своего единственного экстремума, который является глобальным минимумом.

Найдем это минимальное значение:

$g_{min} = g(0) = e^0 - 1 - 0 = 1 - 1 - 0 = 0$.

Поскольку минимальное значение функции $g(x)$ на всей числовой прямой равно 0, то для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $g(x) \ge 0$.

Следовательно, $e^x - 1 - x \ge 0$, что равносильно $e^x \ge 1 + x$.

Ответ: Неравенство доказано.