Номер 32.3, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.3, страница 202.

Решите уравнение $f(x; y) = 0$ относительно $x$, т. е. преобразуйте уравнение к виду $x = x(y)$. Найдите все значения $y$, при которых это решение единственно:

32.3. а) $xy + y - x = 0;$

б) $xy^2 + xy^5 - (1 + y^3) = 0;$

в) $xy + y + 2x = 0;$

г) $xy - (x - 1)y^3 - 1 = 0.$

а) Исходное уравнение: $xy + y - x = 0$.

Сгруппируем члены, содержащие $x$:

$xy - x = -y$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y - 1) = -y$

Это линейное уравнение относительно $x$. Решение будет единственным, если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $y - 1 \neq 0$, или $y \neq 1$.

Рассмотрим случай, когда $y = 1$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$x \cdot 1 + 1 - x = 0$

$1 = 0$

Получено неверное равенство, следовательно, при $y = 1$ уравнение не имеет решений.

При $y \neq 1$ мы можем разделить обе части уравнения $x(y - 1) = -y$ на $(y - 1)$:

$x = \frac{-y}{y - 1} = \frac{y}{1 - y}$

Эта формула для каждого значения $y \neq 1$ дает единственное значение $x$.

Таким образом, решение единственно при всех $y$, кроме $y=1$.

Ответ: $x = \frac{y}{1 - y}$; решение единственно при $y \neq 1$.

б) Исходное уравнение: $xy^2 + xy^5 - (1 + y^3) = 0$.

Сгруппируем члены, содержащие $x$:

$xy^2 + xy^5 = 1 + y^3$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y^2 + y^5) = 1 + y^3$

$x \cdot y^2(1 + y^3) = 1 + y^3$

Решение единственно, если коэффициент при $x$ не равен нулю: $y^2(1 + y^3) \neq 0$. Это условие нарушается при $y^2 = 0$ (то есть $y = 0$) или $1 + y^3 = 0$ (то есть $y = -1$).

Рассмотрим случай $y = 0$. Подставим в исходное уравнение:

$x \cdot 0^2 + x \cdot 0^5 - (1 + 0^3) = 0$

$-1 = 0$

Получено неверное равенство, значит, при $y = 0$ решений нет.

Рассмотрим случай $y = -1$. Подставим в исходное уравнение:

$x(-1)^2 + x(-1)^5 - (1 + (-1)^3) = 0$

$x - x - (1 - 1) = 0$

$0 = 0$

Получено верное равенство, справедливое для любого $x$. Следовательно, при $y = -1$ уравнение имеет бесконечно много решений.

При $y \neq 0$ и $y \neq -1$ мы можем разделить обе части уравнения $x \cdot y^2(1 + y^3) = 1 + y^3$ на $y^2(1 + y^3)$ (или просто на $(1 + y^3)$, так как при $y \neq -1$ оно не равно нулю, а затем на $y^2$):

$x y^2 = 1$

$x = \frac{1}{y^2}$

Эта формула для каждого $y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}$ дает единственное решение.

Ответ: $x = \frac{1}{y^2}$; решение единственно при $y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}$.

в) Исходное уравнение: $xy + y + 2x = 0$.

Сгруппируем члены, содержащие $x$:

$xy + 2x = -y$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y + 2) = -y$

Решение будет единственным, если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $y + 2 \neq 0$, или $y \neq -2$.

Рассмотрим случай, когда $y = -2$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$x(-2) + (-2) + 2x = 0$

$-2x - 2 + 2x = 0$

$-2 = 0$

Получено неверное равенство, следовательно, при $y = -2$ уравнение не имеет решений.

При $y \neq -2$ разделим обе части уравнения $x(y + 2) = -y$ на $(y + 2)$:

$x = \frac{-y}{y + 2}$

Эта формула для каждого значения $y \neq -2$ дает единственное значение $x$.

Ответ: $x = -\frac{y}{y + 2}$; решение единственно при $y \neq -2$.

г) Исходное уравнение: $xy - (x - 1)y^3 - 1 = 0$.

Раскроем скобки:

$xy - xy^3 + y^3 - 1 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $x$:

$xy - xy^3 = 1 - y^3$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y - y^3) = 1 - y^3$

Решение единственно, если коэффициент при $x$ не равен нулю: $y - y^3 \neq 0$.

$y(1 - y^2) \neq 0 \implies y(1 - y)(1 + y) \neq 0$

Это условие нарушается при $y = 0$, $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим случай $y = 0$: $x \cdot 0 - (x-1) \cdot 0^3 - 1 = 0 \implies -1 = 0$. Решений нет.

Рассмотрим случай $y = 1$: $x \cdot 1 - (x-1) \cdot 1^3 - 1 = 0 \implies x - (x - 1) - 1 = 0 \implies x - x + 1 - 1 = 0 \implies 0 = 0$. Бесконечно много решений.

Рассмотрим случай $y = -1$: $x(-1) - (x-1)(-1)^3 - 1 = 0 \implies -x - (x-1)(-1) - 1 = 0 \implies -x + (x-1) - 1 = 0 \implies -x+x-1-1=0 \implies -2=0$. Решений нет.

При $y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$ мы можем разделить обе части на $(y - y^3)$:

$x = \frac{1 - y^3}{y - y^3} = \frac{(1-y)(1+y+y^2)}{y(1-y^2)} = \frac{(1-y)(1+y+y^2)}{y(1-y)(1+y)}$

Так как $y \neq 1$, можно сократить на $(1-y)$:

$x = \frac{1 + y + y^2}{y(1+y)}$

Эта формула для каждого $y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$ дает единственное решение.

Ответ: $x = \frac{1 + y + y^2}{y(1+y)}$; решение единственно при $y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$.