Номер 32.4, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.4, страница 203.

32.4. a) $yx + x + y + 1 = 0;$

б) $y^2 + (x + 1)y + x = 0;$

В) $yx + 4x + 2y + 8 = 0;$

Г) $y^2 + 5xy + 4x^2 = 0.$

а) Исходное уравнение: $yx + x + y + 1 = 0$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы разложить левую часть на множители. Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

$(yx + y) + (x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $y$ из первой скобки:

$y(x + 1) + 1(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(y + 1)(x + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая:

1. $y + 1 = 0$, откуда $y = -1$.

2. $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

Графиком данного уравнения является объединение двух прямых: горизонтальной прямой $y = -1$ и вертикальной прямой $x = -1$.

Ответ: $x = -1$ или $y = -1$.

б) Исходное уравнение: $y^2 + (x + 1)y + x = 0$.

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно переменной $y$. Разложим левую часть на множители. Для этого раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$y^2 + xy + y + x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

$(y^2 + y) + (xy + x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y(y + 1) + x(y + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(y+1)$ за скобки:

$(y + x)(y + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $y + x = 0$, откуда $y = -x$.

2. $y + 1 = 0$, откуда $y = -1$.

Графиком этого уравнения является объединение двух прямых: $y = -x$ и $y = -1$.

Альтернативный способ — решить уравнение как квадратное относительно $y$ с коэффициентами $a = 1$, $b = x + 1$, $c = x$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (x+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot x = x^2 + 2x + 1 - 4x = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Корни уравнения: $y = \frac{-(x+1) \pm \sqrt{(x-1)^2}}{2} = \frac{-x-1 \pm (x-1)}{2}$.

$y_1 = \frac{-x-1 + (x-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$y_2 = \frac{-x-1 - (x-1)}{2} = \frac{-2x}{2} = -x$.

Ответ: $y = -1$ или $y = -x$.

в) Исходное уравнение: $yx + 4x + 2y + 8 = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(yx + 4x) + (2y + 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y + 4) + 2(y + 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(y+4)$ за скобки:

$(x + 2)(y + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$.

2. $y + 4 = 0$, откуда $y = -4$.

Графиком данного уравнения является объединение двух прямых: вертикальной прямой $x = -2$ и горизонтальной прямой $y = -4$.

Ответ: $x = -2$ или $y = -4$.

г) Исходное уравнение: $y^2 + 5xy + 4x^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Мы можем решить его как квадратное уравнение относительно переменной $y$, считая $x$ параметром.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 5x$, $c = 4x^2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (5x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4x^2) = 25x^2 - 16x^2 = 9x^2 = (3x)^2$.

Найдем корни для $y$:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5x \pm \sqrt{(3x)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-5x \pm 3x}{2}$.

Получаем два решения:

1. $y_1 = \frac{-5x + 3x}{2} = \frac{-2x}{2} = -x$.

2. $y_2 = \frac{-5x - 3x}{2} = \frac{-8x}{2} = -4x$.

Также можно разложить левую часть на множители, представив $5xy$ как $xy + 4xy$:

$y^2 + xy + 4xy + 4x^2 = 0$

$y(y+x) + 4x(y+x) = 0$

$(y+4x)(y+x) = 0$

Отсюда получаем те же два решения: $y = -4x$ или $y = -x$.

Графиком этого уравнения является объединение двух прямых, проходящих через начало координат: $y = -x$ и $y = -4x$.

Ответ: $y = -x$ или $y = -4x$.