Страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.4. a) $yx + x + y + 1 = 0;$

б) $y^2 + (x + 1)y + x = 0;$

В) $yx + 4x + 2y + 8 = 0;$

Г) $y^2 + 5xy + 4x^2 = 0.$

а) Исходное уравнение: $yx + x + y + 1 = 0$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы разложить левую часть на множители. Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

$(yx + y) + (x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $y$ из первой скобки:

$y(x + 1) + 1(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(y + 1)(x + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая:

1. $y + 1 = 0$, откуда $y = -1$.

2. $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

Графиком данного уравнения является объединение двух прямых: горизонтальной прямой $y = -1$ и вертикальной прямой $x = -1$.

Ответ: $x = -1$ или $y = -1$.

б) Исходное уравнение: $y^2 + (x + 1)y + x = 0$.

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно переменной $y$. Разложим левую часть на множители. Для этого раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$y^2 + xy + y + x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

$(y^2 + y) + (xy + x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y(y + 1) + x(y + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(y+1)$ за скобки:

$(y + x)(y + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $y + x = 0$, откуда $y = -x$.

2. $y + 1 = 0$, откуда $y = -1$.

Графиком этого уравнения является объединение двух прямых: $y = -x$ и $y = -1$.

Альтернативный способ — решить уравнение как квадратное относительно $y$ с коэффициентами $a = 1$, $b = x + 1$, $c = x$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (x+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot x = x^2 + 2x + 1 - 4x = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Корни уравнения: $y = \frac{-(x+1) \pm \sqrt{(x-1)^2}}{2} = \frac{-x-1 \pm (x-1)}{2}$.

$y_1 = \frac{-x-1 + (x-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$y_2 = \frac{-x-1 - (x-1)}{2} = \frac{-2x}{2} = -x$.

Ответ: $y = -1$ или $y = -x$.

в) Исходное уравнение: $yx + 4x + 2y + 8 = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(yx + 4x) + (2y + 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y + 4) + 2(y + 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(y+4)$ за скобки:

$(x + 2)(y + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$.

2. $y + 4 = 0$, откуда $y = -4$.

Графиком данного уравнения является объединение двух прямых: вертикальной прямой $x = -2$ и горизонтальной прямой $y = -4$.

Ответ: $x = -2$ или $y = -4$.

г) Исходное уравнение: $y^2 + 5xy + 4x^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Мы можем решить его как квадратное уравнение относительно переменной $y$, считая $x$ параметром.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 5x$, $c = 4x^2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (5x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4x^2) = 25x^2 - 16x^2 = 9x^2 = (3x)^2$.

Найдем корни для $y$:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5x \pm \sqrt{(3x)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-5x \pm 3x}{2}$.

Получаем два решения:

1. $y_1 = \frac{-5x + 3x}{2} = \frac{-2x}{2} = -x$.

2. $y_2 = \frac{-5x - 3x}{2} = \frac{-8x}{2} = -4x$.

Также можно разложить левую часть на множители, представив $5xy$ как $xy + 4xy$:

$y^2 + xy + 4xy + 4x^2 = 0$

$y(y+x) + 4x(y+x) = 0$

$(y+4x)(y+x) = 0$

Отсюда получаем те же два решения: $y = -4x$ или $y = -x$.

Графиком этого уравнения является объединение двух прямых, проходящих через начало координат: $y = -x$ и $y = -4x$.

Ответ: $y = -x$ или $y = -4x$.

32.5. a) $|x| - (x + y) = 0;$

б) $5|x| - |x + y| = 0;$

В) $|y + 1| - (x - y) = 0;$

Г) $|y| - |x| - 2x - 3y - 4 = 0.$

а) Исходное уравнение: $|x| - (x + y) = 0$.

Перепишем уравнение, выразив $y$: $y = |x| - x$. Для нахождения множества решений необходимо рассмотреть два случая, раскрывая модуль.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = x - x$
$y = 0$
Это луч, который совпадает с неотрицательной частью оси абсцисс.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = -x - x$
$y = -2x$
Это луч прямой $y = -2x$, который расположен во второй координатной четверти.

Объединив решения для обоих случаев, мы получаем график, состоящий из двух лучей, которые выходят из начала координат $(0, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух лучей, исходящих из точки $(0,0)$: луч $y = 0$ для $x \ge 0$ и луч $y = -2x$ для $x < 0$.

б) Исходное уравнение: $5|x| - |x + y| = 0$.

Перепишем уравнение в виде $|x + y| = 5|x|$. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x + y = 5|x|$
или
$x + y = -5|x|$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно, раскрывая модуль $|x|$.

1. Для уравнения $y = 5|x| - x$:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и $y = 5x - x = 4x$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $y = 5(-x) - x = -6x$.

2. Для уравнения $y = -5|x| - x$:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и $y = -5x - x = -6x$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $y = -5(-x) - x = 4x$.

Объединяя все полученные решения, мы видим, что при любом значении $x$ решением являются прямые $y = 4x$ и $y = -6x$.

Ответ: Графиком является объединение двух прямых, пересекающихся в начале координат: $y = 4x$ и $y = -6x$.

в) Исходное уравнение: $|y + 1| - (x - y) = 0$.

Перепишем уравнение, выразив $x$: $x = |y + 1| + y$. Для нахождения множества решений необходимо рассмотреть два случая, раскрывая модуль.

1. Если $y + 1 \ge 0$, то есть $y \ge -1$. В этом случае $|y + 1| = y + 1$. Уравнение принимает вид:
$x = (y + 1) + y$
$x = 2y + 1$
Это луч прямой $x = 2y + 1$ (или $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$) для всех $y \ge -1$. Начальная точка луча — $(-1, -1)$.

2. Если $y + 1 < 0$, то есть $y < -1$. В этом случае $|y + 1| = -(y + 1)$. Уравнение принимает вид:
$x = -(y + 1) + y$
$x = -y - 1 + y$
$x = -1$
Это луч прямой $x = -1$ для всех $y < -1$.

Объединив решения для обоих случаев, мы получаем график, состоящий из двух лучей, которые выходят из общей точки $(-1, -1)$.

Ответ: Графиком является объединение двух лучей, исходящих из точки $(-1,-1)$: луч $x = -1$ для $y < -1$ и луч $x = 2y + 1$ для $y \ge -1$.

г) Исходное уравнение: $|y| - |x| - 2x - 3y - 4 = 0$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть четыре случая, раскрывая модули $|x|$ и $|y|$ в каждой из четырех координатных четвертей.

1. I четверть ($x \ge 0, y \ge 0$):
$y - x - 2x - 3y - 4 = 0 \implies -2y - 3x - 4 = 0 \implies y = -1.5x - 2$.
При $x \ge 0$, значение $y$ будет $y \le -2$, что противоречит условию $y \ge 0$. В этой области решений нет.

2. II четверть ($x < 0, y \ge 0$):
$y - (-x) - 2x - 3y - 4 = 0 \implies -2y - x - 4 = 0 \implies y = -0.5x - 2$.
Из условия $y \ge 0$ следует $-0.5x - 2 \ge 0$, что дает $x \le -4$. Решением является луч $y = -0.5x - 2$ при $x \le -4$.

3. III четверть ($x < 0, y < 0$):
$-y - (-x) - 2x - 3y - 4 = 0 \implies -4y - x - 4 = 0 \implies y = -0.25x - 1$.
Из условия $y < 0$ следует $-0.25x - 1 < 0$, что дает $x > -4$. С учетом $x < 0$, решением является отрезок $y = -0.25x - 1$ для $-4 < x < 0$.

4. IV четверть ($x \ge 0, y < 0$):
$-y - x - 2x - 3y - 4 = 0 \implies -4y - 3x - 4 = 0 \implies y = -0.75x - 1$.
Из условия $y < 0$ следует $-0.75x - 1 < 0$, что дает $x > -4/3$. С учетом $x \ge 0$, решением является луч $y = -0.75x - 1$ при $x \ge 0$.

Соединяя все части, включая граничные точки $(-4, 0)$ и $(0, -1)$, получаем непрерывную ломаную линию.

Ответ: Графиком является ломаная линия, состоящая из луча $y = -0.5x - 2$ при $x \le -4$, отрезка $y = -0.25x - 1$ при $-4 \le x \le 0$ и луча $y = -0.75x - 1$ при $x \ge 0$.

Постройте график уравнения:

32.6. а) $x^2 - 3xy = 0$;

б) $(x - 1)(y + 5) = 0$;

в) $xy + 2y^2 = 0$;

г) $xy - 5x + y = 5$.

а)

Исходное уравнение: $x^2 - 3xy = 0$.

Для построения графика преобразуем уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3y) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x = 0$. Это уравнение задает ось ординат (ось OY).

2) $x - 3y = 0$. Это уравнение линейной функции. Выразим $y$ через $x$:

$3y = x$

$y = \frac{1}{3}x$

Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (3, 1).

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух пересекающихся в начале координат прямых: оси OY и прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Ответ: Графиком является пара пересекающихся прямых: $x=0$ и $y=\frac{1}{3}x$.

б)

Исходное уравнение: $(x - 1)(y + 5) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, уравнение распадается на два:

1) $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

2) $y + 5 = 0$, откуда $y = -5$.

Графиком уравнения $x = 1$ является вертикальная прямая, проходящая через точку (1, 0) параллельно оси OY.

Графиком уравнения $y = -5$ является горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -5) параллельно оси OX.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых. Прямые перпендикулярны и пересекаются в точке (1, -5).

Ответ: Графиком является пара перпендикулярных прямых: $x=1$ и $y=-5$.

в)

Исходное уравнение: $xy + 2y^2 = 0$.

Для построения графика преобразуем уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(x + 2y) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $y = 0$. Это уравнение задает ось абсцисс (ось OX).

2) $x + 2y = 0$. Это уравнение линейной функции. Выразим $y$ через $x$:

$2y = -x$

$y = -\frac{1}{2}x$

Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (2, -1).

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух пересекающихся в начале координат прямых: оси OX и прямой $y = -\frac{1}{2}x$.

Ответ: Графиком является пара пересекающихся прямых: $y=0$ и $y=-\frac{1}{2}x$.

г)

Исходное уравнение: $xy - 5x + y = 5$.

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем уравнение методом группировки:

$xy - 5x + y - 5 = 0$

$(xy - 5x) + (y - 5) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y - 5) + 1(y - 5) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y - 5)$:

$(x + 1)(y - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на два:

1) $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

2) $y - 5 = 0$, откуда $y = 5$.

Графиком уравнения $x = -1$ является вертикальная прямая, параллельная оси OY.

Графиком уравнения $y = 5$ является горизонтальная прямая, параллельная оси OX.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке (-1, 5).

Ответ: Графиком является пара перпендикулярных прямых: $x=-1$ и $y=5$.

32.7. a) $x^2 - y^2 = 0;$

Б) $x^2 + 7xy - 18y^2 = 0;$

В) $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0;$

Г) $x^2 + xy + y^2 = 0.$

а)

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 0$. Левую часть уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая: 1) $x - y = 0$, откуда следует, что $x = y$. 2) $x + y = 0$, откуда следует, что $x = -y$. Решениями уравнения являются все пары чисел $(x, y)$, которые лежат на прямых $y=x$ и $y=-x$.

Ответ: $x = y$ или $x = -y$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 7xy - 18y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Для его решения рассмотрим два случая.

Случай 1: $y = 0$. Подставив $y=0$ в исходное уравнение, получим $x^2 = 0$, что означает $x=0$. Таким образом, пара $(0, 0)$ является решением.

Случай 2: $y \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $y^2$, так как $y^2 \neq 0$: $\frac{x^2}{y^2} + \frac{7xy}{y^2} - \frac{18y^2}{y^2} = 0$ $(\frac{x}{y})^2 + 7(\frac{x}{y}) - 18 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2 + 7t - 18 = 0$. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$. $t_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = -9$. $t_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = 2$. Теперь вернемся к исходным переменным: 1) $\frac{x}{y} = -9 \implies x = -9y$. 2) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$. Эти два соотношения определяют все решения, включая пару $(0, 0)$.

Ответ: $x = -9y$ или $x = 2y$.

в)

Дано уравнение $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени.

Случай 1: $y = 0$. При $y=0$ уравнение становится $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Пара $(0, 0)$ является решением.

Случай 2: $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$: $(\frac{x}{y})^2 - 3(\frac{x}{y}) + 2 = 0$. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t + 2 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко находятся по теореме Виета: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$ (так как $1+2=3$ и $1 \cdot 2=2$). Возвращаясь к переменным $x$ и $y$: 1) $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$. 2) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.

Ответ: $x = y$ или $x = 2y$.

г)

Дано уравнение $x^2 + xy + y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени.

Случай 1: $y = 0$. При $y=0$ уравнение становится $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Пара $(0, 0)$ является решением.

Случай 2: $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$: $(\frac{x}{y})^2 + (\frac{x}{y}) + 1 = 0$. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда получаем квадратное уравнение: $t^2 + t + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что не существует действительных решений, для которых $y \neq 0$.

Таким образом, единственным действительным решением исходного уравнения является пара $(0, 0)$.

Ответ: $x = 0, y = 0$.

32.8. a) $\frac{x}{y} = 1;$

Б) $\frac{2x + 3y - 5}{x + y} = 0;$

В) $\frac{x - y}{x + y - 2} = 0;$

Г) $\frac{2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5}{x - y} = 2x.$

а)

Дано уравнение $\frac{x}{y} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $y \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $y$, так как мы установили, что $y \neq 0$:

$x = 1 \cdot y$

$x = y$

Таким образом, решением является любая пара чисел $(x, y)$, такая что $x = y$ и $y \neq 0$.

Ответ: $x = y$, при $y \neq 0$.

б)

Дано уравнение $\frac{2x + 3y - 5}{x + y} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} 2x + 3y - 5 = 0 \\ x + y \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение $2x + 3y - 5 = 0$ задает прямую. Второе условие $x + y \neq 0$ означает, что нужно исключить из решения точки, для которых $y = -x$.

Найдем точку пересечения прямых $2x + 3y - 5 = 0$ и $x + y = 0$. Для этого подставим $y = -x$ из второго уравнения в первое:

$2x + 3(-x) - 5 = 0$

$2x - 3x - 5 = 0$

$-x = 5$

$x = -5$

Тогда $y = -x = -(-5) = 5$.

Следовательно, точка $(-5, 5)$ должна быть исключена из множества решений, так как в ней знаменатель обращается в ноль. Решением являются все остальные точки прямой $2x + 3y - 5 = 0$.

Ответ: $2x + 3y - 5 = 0$, при условии что $x + y \neq 0$.

в)

Дано уравнение $\frac{x - y}{x + y - 2} = 0$.

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - y = 0 \\ x + y - 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x = y$.

Подставим это равенство во второе условие, чтобы найти точки, которые необходимо исключить:

$x + (x) - 2 \neq 0$

$2x - 2 \neq 0$

$2x \neq 2$

$x \neq 1$

Так как $x = y$, то и $y \neq 1$. Таким образом, точка $(1, 1)$ не является решением.

Решением является множество точек прямой $x = y$ за исключением точки $(1, 1)$.

Ответ: $x = y$, при $x \neq 1$.

г)

Дано уравнение $\frac{2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5}{x - y} = 2x$.

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x - y \neq 0$ или $x \neq y$.

При условии $x \neq y$, умножим обе части уравнения на $(x - y)$:

$2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5 = 2x(x - y)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5 = 2x^2 - 2xy$

Сократим одинаковые члены ($2x^2$ и $-2xy$) в обеих частях:

$-4x + 3y - 5 = 0$

Это уравнение прямой. Теперь необходимо проверить, какие точки этой прямой не удовлетворяют ОДЗ.

Найдем точку, в которой $x = y$. Подставим $y = x$ в уравнение прямой:

$-4x + 3(x) - 5 = 0$

$-x - 5 = 0$

$x = -5$

Если $x = -5$, то $y = -5$. Значит, точка $(-5, -5)$ лежит на прямой $-4x + 3y - 5 = 0$, но для нее знаменатель исходной дроби равен нулю. Эту точку нужно исключить из множества решений.

Решением является множество точек прямой $-4x + 3y - 5 = 0$ за исключением точки $(-5, -5)$.

Ответ: $-4x + 3y - 5 = 0$, при $x \neq -5$.

32.9. a) $|x| + |y| = x + y;$

б) $|x| + |y| = y - x;$

B) $|x| + |y| = x - y;$

Г) $|x| + |y| = -x - y.$

Для решения данных уравнений необходимо раскрыть модули. Так как под модулем стоят переменные $x$ и $y$, мы должны рассмотреть четыре случая, соответствующие знакам $x$ и $y$ в каждой из четырех координатных четвертей.

а) $|x| + |y| = x + y$

Проанализируем уравнение в каждой координатной четверти:

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$. Уравнение принимает вид:
$x + y = x + y$
Это тождество, которое верно для любых значений $x$ и $y$ из рассматриваемой области. Таким образом, все точки $(x, y)$, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$, являются решением.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$.
В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = y$. Уравнение принимает вид:
$-x + y = x + y$
$-x = x$
$2x = 0$, откуда $x = 0$. Это значение находится на границе с первой четвертью и уже учтено в первом случае. Новых решений в этой области нет (кроме границы).

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$.
В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Уравнение принимает вид:
$-x - y = x + y$
$2x + 2y = 0$
$y = -x$
Однако в третьей четверти $x$ и $y$ должны быть одного знака (оба отрицательные). Условие $y = -x$ означает, что они имеют разные знаки (если $x<0$, то $y>0$), что противоречит условию $y < 0$. Следовательно, в этой области нет решений.

4. Четвертая четверть: $x \ge 0, y < 0$.
В этом случае $|x| = x$ и $|y| = -y$. Уравнение принимает вид:
$x - y = x + y$
$-y = y$
$2y = 0$, откуда $y = 0$. Это значение находится на границе с первой четвертью и уже учтено. Новых решений в этой области нет.

Объединив результаты, мы видим, что равенство выполняется только для точек первой координатной четверти, включая ее границы (положительные полуоси координат).

Ответ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

б) $|x| + |y| = y - x$

Проанализируем уравнение в каждой координатной четверти:

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$.
$x + y = y - x$
$2x = 0$, откуда $x = 0$. Решением является неотрицательная часть оси $y$, то есть все точки $(0, y)$ при $y \ge 0$.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$.
$-x + y = y - x$
Это тождество, верное для всех $x < 0$ и $y \ge 0$. Таким образом, вся вторая координатная четверть, включая ее границы (отрицательная полуось $x$ и неотрицательная полуось $y$), является решением.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$.
$-x - y = y - x$
$-y = y$, откуда $y = 0$. Это противоречит условию $y < 0$. Решений в этой области нет.

4. Четвертая четверть: $x \ge 0, y < 0$.
$x - y = y - x$
$2x = 2y$, или $x = y$. Но в этой четверти $x \ge 0$ и $y < 0$, поэтому равенство $x=y$ возможно только при $x=y=0$. Эта точка уже учтена в первом случае.

Объединяя решения из первого и второго случаев, получаем все точки $(x, y)$, для которых $x \le 0$ и $y \ge 0$.

Ответ: $x \le 0$ и $y \ge 0$.

в) $|x| + |y| = x - y$

Проанализируем уравнение в каждой координатной четверти:

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$.
$x + y = x - y$
$2y = 0$, откуда $y = 0$. Решением является неотрицательная часть оси $x$, то есть все точки $(x, 0)$ при $x \ge 0$.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$.
$-x + y = x - y$
$2y = 2x$, или $y = x$. Но в этой четверти $x < 0$ и $y \ge 0$, поэтому равенство возможно только при $x=y=0$. Эта точка уже учтена.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$.
$-x - y = x - y$
$-x = x$, откуда $x=0$. Это противоречит условию $x < 0$. Решений в этой области нет.

4. Четвертая четверть: $x \ge 0, y < 0$.
$x - y = x - y$
Это тождество, верное для всех $x \ge 0$ и $y < 0$. Таким образом, вся четвертая координатная четверть, включая ее границы (неотрицательная полуось $x$ и отрицательная полуось $y$), является решением.

Объединяя решения из первого и четвертого случаев, получаем все точки $(x, y)$, для которых $x \ge 0$ и $y \le 0$.

Ответ: $x \ge 0$ и $y \le 0$.

г) $|x| + |y| = -x - y$

Проанализируем уравнение в каждой координатной четверти:

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$.
$x + y = -x - y$
$2x + 2y = 0$, или $x+y=0$. Так как $x$ и $y$ неотрицательны, это равенство возможно только если $x = 0$ и $y = 0$.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$.
$-x + y = -x - y$
$y = -y$, откуда $y = 0$. Решением является отрицательная часть оси $x$, то есть все точки $(x, 0)$ при $x < 0$.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$.
$-x - y = -x - y$
Это тождество, верное для всех $x < 0$ и $y < 0$. Таким образом, вся третья координатная четверть является решением.

4. Четвертая четверть: $x \ge 0, y < 0$.
$x - y = -x - y$
$x = -x$, откуда $x = 0$. Решением является отрицательная часть оси $y$, то есть все точки $(0, y)$ при $y < 0$.

Объединяя решения из всех четырех случаев ($x=0, y=0$; $x<0, y=0$; $x<0, y<0$; $x=0, y<0$), получаем все точки $(x, y)$, для которых $x \le 0$ и $y \le 0$.

Ответ: $x \le 0$ и $y \le 0$.

32.10. a) $\frac{x^2 - 9y^2}{(x - 3y)(x + 3y)} = 1;$

б) $\frac{|x + y|}{(x + y)^2} = 1;$

в) $(x + 3y - 1)^2 + (x^2 - 3xy - 4y^2)^2 = 0;$

г) $|x^2 - y - 2| + |x^2 + y^2 - 2| = 0.$

Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 9y^2}{(x - 3y)(x + 3y)} = 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$(x - 3y)(x + 3y) \neq 0$
Это означает, что $x - 3y \neq 0$ и $x + 3y \neq 0$, то есть $x \neq 3y$ и $x \neq -3y$.
Теперь преобразуем числитель. Выражение $x^2 - 9y^2$ является разностью квадратов:
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{(x - 3y)(x + 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)} = 1$.
При выполнении условий ОДЗ ($x \neq 3y$ и $x \neq -3y$), дробь в левой части уравнения равна 1. Таким образом, мы получаем тождество $1 = 1$.
Это означает, что решением уравнения являются все пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq 3y$ и $x \neq -3y$.

Исходное уравнение: $\frac{|x + y|}{(x + y)^2} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $(x + y)^2 \neq 0$, откуда $x + y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $(x + y)^2$ (это возможно, так как по ОДЗ это выражение не равно нулю):
$|x + y| = (x + y)^2$.
Пусть $t = x + y$. Уравнение примет вид $|t| = t^2$. Условие ОДЗ: $t \neq 0$.
Так как $t^2 = |t|^2$, уравнение можно переписать как $|t| = |t|^2$.
$|t|^2 - |t| = 0$
$|t|(|t| - 1) = 0$
Отсюда $|t| = 0$ или $|t| - 1 = 0$.
Поскольку $t \neq 0$, то $|t| \neq 0$. Остается только вариант $|t| - 1 = 0$, то есть $|t| = 1$.
Это означает, что $t = 1$ или $t = -1$.
Возвращаясь к переменным $x$ и $y$, получаем:
$x + y = 1$ или $x + y = -1$.

Ответ: все пары чисел $(x, y)$, удовлетворяющие условиям $x+y=1$ или $x+y=-1$.

Исходное уравнение: $(x + 3y - 1)^2 + (x^2 - 3xy - 4y^2)^2 = 0$.
Это уравнение представляет собой сумму двух квадратов, равную нулю. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x + 3y - 1 = 0 \\ x^2 - 3xy - 4y^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 1 - 3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(1 - 3y)^2 - 3(1 - 3y)y - 4y^2 = 0$
Раскроем скобки и упростим:
$(1 - 6y + 9y^2) - (3y - 9y^2) - 4y^2 = 0$
$1 - 6y + 9y^2 - 3y + 9y^2 - 4y^2 = 0$
Приведем подобные члены:
$14y^2 - 9y + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 14 \cdot 1 = 81 - 56 = 25$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 14} = \frac{9 + 5}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 14} = \frac{9 - 5}{28} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$.
Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 1 - 3(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
Если $y_2 = \frac{1}{7}$, то $x_2 = 1 - 3(\frac{1}{7}) = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$, $(\frac{4}{7}; \frac{1}{7})$.

Исходное уравнение: $|x^2 - y - 2| + |x^2 + y^2 - 2| = 0$.
Это уравнение представляет собой сумму двух модулей (абсолютных величин), равную нулю. Модуль любого действительного числа неотрицателен, поэтому сумма двух модулей равна нулю только в том случае, если выражения под каждым модулем равны нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y - 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x^2$:
$x^2 = y + 2$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(y + 2) + y^2 - 2 = 0$
$y^2 + y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$.
Случай 1: $y_1 = 0$.
$x^2 = 0 + 2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Получаем два решения: $(\sqrt{2}, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0)$.
Случай 2: $y_2 = -1$.
$x^2 = -1 + 2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.
Получаем еще два решения: $(1, -1)$ и $(-1, -1)$.
Всего получаем четыре решения.

Ответ: $(\sqrt{2}; 0)$, $(-\sqrt{2}; 0)$, $(1; -1)$, $(-1; -1)$.

32.11. График уравнения $f(x; y) = 0$ изображён на рис. 9. Постройте график уравнения:

а) $f(-x; y) = 0$;

б) $f(x; -y) = 0$;

в) $f(-x; -y) = 0$;

г) $f(y; x) = 0$.

Рис. 9

Исходный график, изображенный на рис. 9, представляет собой множество точек $(x; y)$, для которых выполняется равенство $f(x; y) = 0$. Для построения графиков преобразованных уравнений мы определим, как изменяются координаты точек исходного графика. Ключевыми точками исходного графика являются точки излома: $(-2; 0)$, $(0; -2)$, $(2; 3)$, $(4; -3)$.

Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $f(-x; y) = 0$. Это означает, что $f(-x_1; y_1) = 0$. Следовательно, точка с координатами $(-x_1; y_1)$ принадлежит исходному графику $f(x; y) = 0$. Таким образом, для каждой точки $(x_0; y_0)$ исходного графика, точка $(-x_0; y_0)$ принадлежит новому графику. Это преобразование является симметричным отражением (симметрией) относительно оси ординат (оси $y$).

Чтобы построить требуемый график, необходимо отразить исходный график симметрично относительно оси $y$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(2; 0)$.
• Точка $(0; -2)$ переходит в точку $(0; -2)$.
• Точка $(2; 3)$ переходит в точку $(-2; 3)$.
• Точка $(4; -3)$ переходит в точку $(-4; -3)$.

Ответ: График уравнения $f(-x; y) = 0$ — это ломаная линия, полученная отражением исходного графика относительно оси $y$. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-4; -3)$ и проходящего через точку $(-5; -2)$; отрезка, соединяющего точки $(-4; -3)$ и $(-2; 3)$; отрезка от $(-2; 3)$ до $(0; -2)$; отрезка от $(0; -2)$ до $(2; 0)$; и луча, выходящего из точки $(2; 0)$ и проходящего через точку $(3; 1)$.

Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $f(x; -y) = 0$. Это означает, что $f(x_1; -y_1) = 0$. Следовательно, точка с координатами $(x_1; -y_1)$ принадлежит исходному графику $f(x; y) = 0$. Таким образом, для каждой точки $(x_0; y_0)$ исходного графика, точка $(x_0; -y_0)$ принадлежит новому графику. Это преобразование является симметричным отражением относительно оси абсцисс (оси $x$).

Чтобы построить требуемый график, необходимо отразить исходный график симметрично относительно оси $x$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(-2; 0)$.
• Точка $(0; -2)$ переходит в точку $(0; 2)$.
• Точка $(2; 3)$ переходит в точку $(2; -3)$.
• Точка $(4; -3)$ переходит в точку $(4; 3)$.

Ответ: График уравнения $f(x; -y) = 0$ — это ломаная линия, полученная отражением исходного графика относительно оси $x$. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-2; 0)$ и проходящего через точку $(-3; -1)$; отрезка, соединяющего точки $(-2; 0)$ и $(0; 2)$; отрезка от $(0; 2)$ до $(2; -3)$; отрезка от $(2; -3)$ до $(4; 3)$; и луча, выходящего из точки $(4; 3)$ и проходящего через точку $(5; 2)$.

Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $f(-x; -y) = 0$. Это означает, что $f(-x_1; -y_1) = 0$. Следовательно, точка с координатами $(-x_1; -y_1)$ принадлежит исходному графику $f(x; y) = 0$. Таким образом, для каждой точки $(x_0; y_0)$ исходного графика, точка $(-x_0; -y_0)$ принадлежит новому графику. Это преобразование является центральной симметрией относительно начала координат $(0; 0)$.

Чтобы построить требуемый график, необходимо отразить исходный график симметрично относительно начала координат. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(2; 0)$.
• Точка $(0; -2)$ переходит в точку $(0; 2)$.
• Точка $(2; 3)$ переходит в точку $(-2; -3)$.
• Точка $(4; -3)$ переходит в точку $(-4; 3)$.

Ответ: График уравнения $f(-x; -y) = 0$ — это ломаная линия, полученная отражением исходного графика относительно начала координат. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-4; 3)$ и проходящего через точку $(-5; 2)$; отрезка, соединяющего точки $(-4; 3)$ и $(-2; -3)$; отрезка от $(-2; -3)$ до $(0; 2)$; отрезка от $(0; 2)$ до $(2; 0)$; и луча, выходящего из точки $(2; 0)$ и проходящего через точку $(3; -1)$.

Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $f(y; x) = 0$. Это означает, что $f(y_1; x_1) = 0$. Следовательно, точка с координатами $(y_1; x_1)$ принадлежит исходному графику $f(x; y) = 0$. Таким образом, для каждой точки $(x_0; y_0)$ исходного графика, точка $(y_0; x_0)$ принадлежит новому графику. Это преобразование является симметричным отражением относительно прямой $y = x$.

Чтобы построить требуемый график, необходимо отразить исходный график симметрично относительно прямой $y = x$. Найдем новые координаты для ключевых точек, поменяв местами координаты $x$ и $y$:

• Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(0; -2)$.
• Точка $(0; -2)$ переходит в точку $(-2; 0)$.
• Точка $(2; 3)$ переходит в точку $(3; 2)$.
• Точка $(4; -3)$ переходит в точку $(-3; 4)$.

Ответ: График уравнения $f(y; x) = 0$ — это ломаная линия, полученная отражением исходного графика относительно прямой $y=x$. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-3; 4)$ и проходящего через точку $(-2; 5)$; отрезка, соединяющего точки $(-3; 4)$ и $(3; 2)$; отрезка от $(3; 2)$ до $(-2; 0)$; отрезка от $(-2; 0)$ до $(0; -2)$; и луча, выходящего из точки $(0; -2)$ и проходящего через точку $(1; -3)$.

32.12. На рис. 10 изображён график уравнения $f(x; y) = 0$, имеющий вид четырёхугольника, вершины которого — точки с целочисленными координатами. Постройте график уравнения:

а) $f(|x|; y) = 0$;

б) $f(x; |y|) = 0$;

в) $f(|x|; |y|) = 0$;

г) $f(y; |x|) = 0$.

Рис. 10

Исходный график, заданный уравнением $f(x; y) = 0$, представляет собой четырехугольник с вершинами в точках с целочисленными координатами. Определим координаты этих вершин из рисунка: $A(1, 2)$, $B(4, -2)$, $C(1, -3)$ и $D(-3, -1)$.

Для построения требуемых графиков будем использовать правила преобразования графиков функций.

а) $f(|x|; y) = 0$

Чтобы построить график уравнения $f(|x|; y) = 0$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сохранить часть исходного графика, которая находится в правой полуплоскости и на оси $y$ (где $x \ge 0$).
2. Удалить часть исходного графика, которая находится в левой полуплоскости (где $x < 0$).
3. Отразить сохраненную часть графика симметрично относительно оси $y$.

Часть исходного графика при $x \ge 0$ — это ломаная, проходящая через вершины $A(1, 2)$, $B(4, -2)$ и $C(1, -3)$. Эта ломаная соединена с осью $y$ отрезками исходного четырехугольника. Найдем точки пересечения с осью $y$:

• Отрезок $AD$ с концами в $A(1, 2)$ и $D(-3, -1)$ пересекает ось $y$ в точке $(0; 1.25)$.
• Отрезок $CD$ с концами в $C(1, -3)$ и $D(-3, -1)$ пересекает ось $y$ в точке $(0; -2.5)$.

Таким образом, мы сохраняем фигуру, ограниченную точками $(0; 1.25)$, $A(1, 2)$, $B(4, -2)$, $C(1, -3)$ и $(0; -2.5)$. Отражая эту фигуру относительно оси $y$, мы получаем симметричную ей фигуру с новыми вершинами $A'(-1, 2)$, $B'(-4, -2)$ и $C'(-1, -3)$. Объединение этих двух фигур образует новый график.

Ответ: Итоговый график — это шестиугольник с вершинами в точках $(1, 2)$, $(4, -2)$, $(1, -3)$, $(-1, -3)$, $(-4, -2)$, $(-1, 2)$.

б) $f(x; |y|) = 0$

Построение графика $f(x; |y|) = 0$ аналогично предыдущему пункту, но симметрия выполняется относительно оси $x$:

1. Сохранить часть исходного графика, которая находится в верхней полуплоскости и на оси $x$ (где $y \ge 0$).
2. Удалить часть исходного графика, которая находится в нижней полуплоскости (где $y < 0$).
3. Отразить сохраненную часть графика симметрично относительно оси $x$.

Часть исходного графика при $y \ge 0$ — это ломаная с вершиной $A(1, 2)$, которая соединяет точки пересечения с осью $x$. Найдем эти точки:

• Отрезок $AB$ с концами в $A(1, 2)$ и $B(4, -2)$ пересекает ось $x$ в точке $(2.5; 0)$.
• Отрезок $AD$ с концами в $A(1, 2)$ и $D(-3, -1)$ пересекает ось $x$ в точке $(-5/3; 0)$.

Мы сохраняем ломаную, проходящую через точки $(-5/3; 0)$, $A(1, 2)$ и $(2.5; 0)$. Отражая ее симметрично относительно оси $x$, получаем новую вершину $A'(1, -2)$.

Ответ: Итоговый график — это четырехугольник (дельтоид) с вершинами в точках $(1, 2)$, $(2.5, 0)$, $(1, -2)$ и $(-5/3, 0)$ (приблизительно $(-1.67, 0)$).

в) $f(|x|; |y|) = 0$

Для построения графика $f(|x|; |y|) = 0$ используется комбинация предыдущих преобразований:

1. Сохранить часть исходного графика, которая находится в первой координатной четверти (где $x \ge 0$ и $y \ge 0$).
2. Отразить эту часть симметрично относительно оси $x$, оси $y$ и начала координат, чтобы заполнить все четыре четверти.

Часть исходного графика в первой четверти — это ломаная, соединяющая точку $A(1, 2)$ с точкой пересечения оси $y$ $(0; 1.25)$ и точкой пересечения оси $x$ $(2.5; 0)$.

Выполняя симметричные отражения этой ломаной, мы получаем замкнутую фигуру, симметричную относительно обеих координатных осей.

Ответ: Итоговый график — это шестиугольник с вершинами в точках $(2.5, 0)$, $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(-2.5, 0)$, $(-1, -2)$, $(1, -2)$.

г) $f(y; |x|) = 0$

Построение этого графика можно выполнить в два шага:

1. Сначала построим график вспомогательного уравнения $g(x, y) = f(y, x) = 0$. Этот график получается из исходного графика $f(x, y) = 0$ симметричным отражением относительно прямой $y = x$. Вершины исходного четырехугольника $A(1, 2)$, $B(4, -2)$, $C(1, -3)$, $D(-3, -1)$ перейдут в вершины $A_1(2, 1)$, $B_1(-2, 4)$, $C_1(-3, 1)$, $D_1(-1, -3)$.
2. Затем к графику $g(x, y) = 0$ применим преобразование из пункта (а), чтобы получить график $g(|x|, y) = f(y, |x|) = 0$. Для этого берем часть графика $g(x, y) = 0$ при $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси $y$.

Часть графика $g(x, y) = 0$ при $x \ge 0$ — это ломаная с вершиной $A_1(2, 1)$, концы которой лежат на оси $y$. Найдем точки пересечения с осью $y$:

• Отрезок $A_1B_1$ с концами в $A_1(2, 1)$ и $B_1(-2, 4)$ пересекает ось $y$ в точке $(0; 2.5)$.
• Отрезок $A_1D_1$ с концами в $A_1(2, 1)$ и $D_1(-1, -3)$ пересекает ось $y$ в точке $(0; -5/3)$.

Мы сохраняем ломаную, проходящую через точки $(0; 2.5)$, $A_1(2, 1)$ и $(0; -5/3)$. Отражая ее симметрично относительно оси $y$, получаем новую вершину $A_1'(-2, 1)$.

Ответ: Итоговый график — это четырехугольник (дельтоид) с вершинами в точках $(2, 1)$, $(0, 2.5)$, $(-2, 1)$ и $(0, -5/3)$ (приблизительно $(0, -1.67)$).