Страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

32.31. a) $\sqrt{y + 1} < x$;

б) $\sqrt{2xy + y^2} \ge x + y$;

в) $\sqrt{-2x - y - 1} > -x$;

г) $\sqrt{2xy + x^2} \ge x - y$.

а) $\sqrt{y + 1} < x$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$y + 1 \geq 0 \implies y \geq -1$.

2. Левая часть неравенства, $\sqrt{y + 1}$, всегда неотрицательна. Следовательно, для выполнения неравенства правая часть должна быть строго положительной:
$x > 0$.

3. Поскольку обе части неравенства неотрицательны (при $x > 0$), мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{y + 1})^2 < x^2$
$y + 1 < x^2$
$y < x^2 - 1$.

4. Таким образом, координаты искомых точек должны удовлетворять системе неравенств:
$\begin{cases} y \geq -1 \\ x > 0 \\ y < x^2 - 1 \end{cases}$

5. Построим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих этой системе.
- $x > 0$ — это правая полуплоскость (справа от оси $Oy$), сама ось не включается.
- $y \geq -1$ — это полуплоскость, расположенная над прямой $y = -1$, включая саму прямую.
- $y < x^2 - 1$ — это область под параболой $y = x^2 - 1$. Парабола имеет вершину в точке $(0, -1)$ и ветви, направленные вверх. Сама парабола не включается в решение (границу изображаем штриховой линией).

Искомое множество точек — это пересечение этих трех областей. Это область в правой полуплоскости, ограниченная снизу прямой $y = -1$ (эта часть границы, луч $(0, +\infty)$ на прямой $y=-1$, включается в решение), слева — осью $Oy$ (не включая её), а сверху — параболой $y = x^2 - 1$ (не включая её).

Ответ: Множество точек, расположенных в правой полуплоскости ($x>0$) между параболой $y = x^2 - 1$ и прямой $y = -1$. Граница на параболе не включается, граница на оси $Oy$ не включается, а граница на прямой $y=-1$ (для $x>0$) включается.

б) $\sqrt{2xy + y^2} \geq x + y$

1. ОДЗ: $2xy + y^2 \geq 0 \implies y(2x + y) \geq 0$. Это выполняется в двух случаях:
а) $y \geq 0$ и $2x + y \geq 0$ (т.е. $y \geq -2x$).
б) $y \leq 0$ и $2x + y \leq 0$ (т.е. $y \leq -2x$).

2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства.
Случай 1: $x + y < 0$ (т.е. $y < -x$).
Левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Неравенство $\sqrt{A} \geq B$ всегда верно, если $A \geq 0$ и $B < 0$. Таким образом, в этом случае решением являются все точки из ОДЗ, для которых $y < -x$.
- Для ОДЗ а) ($y \geq 0, y \geq -2x$) и $y < -x$: при $x<0$ имеем $-2x > -x > 0$. Система $y \geq -2x$ и $y < -x$ не имеет решений. При $x \geq 0$ из $y \geq 0$ и $y < -x$ следует $0 < -x \implies x < 0$, что является противоречием. Решений в этом подслучае нет. - Для ОДЗ б) ($y \leq 0, y \leq -2x$) и $y < -x$: - При $x > 0$ имеем $y \leq -2x$. Так как $-2x < -x$, условие $y \leq -2x$ более сильное, чем $y < -x$. Решение: $x > 0, y \leq -2x$. - При $x \leq 0$ имеем $y \leq 0$. Условие $y < -x$ выполнено для всех точек третьего квадранта ($x<0, y<0$) и для точек на отрицательной полуоси $Ox$ ($y=0, x<0$). Условие $y \leq -2x$ также выполняется для всего третьего квадранта. Решение: $x \leq 0, y \leq 0$.
Случай 2: $x + y \geq 0$ (т.е. $y \geq -x$).
Обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат:
$2xy + y^2 \geq (x + y)^2$
$2xy + y^2 \geq x^2 + 2xy + y^2$
$0 \geq x^2$ Это неравенство выполняется только при $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. С учетом условия $y \geq -x$ получаем $y \geq 0$. Проверим ОДЗ для $x=0$: $y(0+y) \geq 0 \implies y^2 \geq 0$, что верно для любого $y$. Таким образом, решением в этом случае является луч $x=0, y \geq 0$.

3. Проверим отдельно случай $x=0$. Неравенство принимает вид $\sqrt{y^2} \geq y \implies |y| \geq y$. Это верно для любого действительного $y$. ОДЗ ($y^2 \geq 0$) также выполняется для любого $y$. Значит, вся ось $Oy$ ($x=0$) является решением.

4. Объединим все найденные решения:
- Вся ось $Oy$ ($x=0$). - Область $x > 0, y \leq -2x$ (часть четвертого квадранта под прямой $y=-2x$). - Область $x \leq 0, y \leq 0$ (третий квадрант, включая его границы — отрицательные полуоси).

Ответ: Искомое множество точек — это объединение замкнутого третьего квадранта ($x \leq 0, y \leq 0$), всей оси ординат ($x=0$) и части четвертого квадранта, расположенной на и под прямой $y = -2x$ ($x > 0, y \leq -2x$).

в) $\sqrt{-2x - y - 1} > -x$

1. ОДЗ: $-2x - y - 1 \geq 0 \implies y \leq -2x - 1$. Это полуплоскость, расположенная на и под прямой $y = -2x - 1$.

2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.
Случай 1: $-x < 0$ (т.е. $x > 0$).
Левая часть неотрицательна, правая — отрицательна. Неравенство верно для всех точек из ОДЗ. Таким образом, решением является пересечение $x > 0$ и $y \leq -2x - 1$.
Случай 2: $-x \geq 0$ (т.е. $x \leq 0$).
Обе части неотрицательны. Возведем в квадрат:
$-2x - y - 1 > (-x)^2$
$-2x - y - 1 > x^2$
$y < -x^2 - 2x - 1$
$y < -(x+1)^2$
Это условие должно выполняться вместе с ОДЗ ($y \leq -2x - 1$) и условием случая ($x \leq 0$). Сравним $-(x+1)^2$ и $-2x-1$: $-(x^2+2x+1) - (-2x-1) = -x^2$. При $x \neq 0$ имеем $-x^2 < 0$, значит $-(x+1)^2 < -2x - 1$. Следовательно, условие $y < -(x+1)^2$ является более сильным, чем ОДЗ. Решение для $x < 0$: $y < -(x+1)^2$.
При $x=0$ правая часть равна 0. Неравенство: $\sqrt{-y-1} > 0$. Это равносильно $-y-1>0$, то есть $y < -1$.

3. Объединим решения:
- При $x < 0$: область под параболой $y = -(x+1)^2$ (парабола не включается). - При $x = 0$: луч $y < -1$ (точка $(0, -1)$ не включается). - При $x > 0$: область на и под прямой $y = -2x - 1$.

Заметим, что прямая $y = -2x - 1$ является касательной к параболе $y = -(x+1)^2$ в точке $(0, -1)$. Проверим точку $(0, -1)$: $\sqrt{0} > 0$ — неверно. Точка $(0, -1)$ не является решением.

Ответ: Множество точек, состоящее из двух частей:1) для $x < 0$ — область, расположенная строго под параболой $y = -(x+1)^2$;2) для $x \geq 0$ — область, расположенная под прямой $y = -2x - 1$, включая саму прямую, за исключением точки касания $(0, -1)$.

г) $\sqrt{2xy + x^2} \geq x - y$

1. ОДЗ: $2xy + x^2 \geq 0 \implies x(2y + x) \geq 0$. Это выполняется в случаях:
а) $x \geq 0$ и $2y + x \geq 0$ (т.е. $y \geq -x/2$).
б) $x \leq 0$ и $2y + x \leq 0$ (т.е. $y \leq -x/2$).

2. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x - y < 0$ (т.е. $y > x$).
Неравенство верно для всех точек из ОДЗ.
- Пересечение с ОДЗ а) ($x \geq 0, y \geq -x/2$): условие $y > x$ сильнее, чем $y \geq -x/2$ при $x \geq 0$. Решение: $x \geq 0, y > x$. - Пересечение с ОДЗ б) ($x \leq 0, y \leq -x/2$): получаем систему $x < y \leq -x/2$ (при $x < 0$).
Случай 2: $x - y \geq 0$ (т.е. $y \leq x$).
Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
$2xy + x^2 \geq (x - y)^2$
$2xy + x^2 \geq x^2 - 2xy + y^2$
$4xy \geq y^2 \implies y(y - 4x) \leq 0$. Это верно, если:
- $y \geq 0$ и $y \leq 4x$. Решение: $0 \leq y \leq 4x$. - $y \leq 0$ и $y \geq 4x$. Решение: $4x \leq y \leq 0$. Объединим это с условиями $y \leq x$ и ОДЗ:
- Для $x \geq 0$ (ОДЗ а)): система $0 \leq y \leq 4x$ и $y \leq x$. Так как $x \leq 4x$, то решением будет $0 \leq y \leq x$. - Для $x \leq 0$ (ОДЗ б)): система $4x \leq y \leq 0$ и $y \leq x$. Так как $4x \leq x$, то решением будет $4x \leq y \leq 0$.

3. Соберем все решения:
- Для $x \geq 0$: объединяем $y > x$ и $0 \leq y \leq x$, получаем $y \geq 0$. Это замкнутый первый квадрант. - Для $x < 0$: объединяем $x < y \leq -x/2$ и $4x \leq y \leq 0$. Так как при $x<0$ имеем $4x < x < 0 < -x/2$, то общее решение: $4x \leq y \leq -x/2$.

Ответ: Искомое множество — это объединение замкнутого первого координатного угла ($x \geq 0, y \geq 0$) и области в левой полуплоскости ($x < 0$), заключенной между лучами $y = 4x$ и $y = -x/2$, включая сами лучи.

32.32. a) $2|x-3| + 2x - 3y \le 0;$

б) $|x-3| + |y+2| \ge 2x + 5.$

а)

Рассмотрим неравенство с двумя переменными $2|x - 3| + 2x - 3y \le 0$. Решением данного неравенства является некоторая область на координатной плоскости $Oxy$.

Для начала выразим $y$ из неравенства:

$3y \ge 2|x - 3| + 2x$

$y \ge \frac{2|x - 3| + 2x}{3}$

Далее, для того чтобы избавиться от знака модуля, рассмотрим два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $x - 3$.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Подставим это выражение в наше неравенство:

$y \ge \frac{2(x - 3) + 2x}{3}$

Упростим правую часть:

$y \ge \frac{2x - 6 + 2x}{3}$

$y \ge \frac{4x - 6}{3}$

Итак, при $x \ge 3$ решением является множество точек, для которых $y \ge \frac{4}{3}x - 2$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.
В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Подставим это выражение в неравенство:

$y \ge \frac{2(3 - x) + 2x}{3}$

Упростим правую часть:

$y \ge \frac{6 - 2x + 2x}{3}$

$y \ge \frac{6}{3}$

$y \ge 2$

Таким образом, при $x < 3$ решением является множество точек, для которых $y \ge 2$.

Объединяя оба случая, мы получаем, что решением является множество точек $(x, y)$, которое на координатной плоскости расположено на и выше ломаной линии. Эта ломаная состоит из луча прямой $y=2$ при $x \le 3$ и луча прямой $y = \frac{4}{3}x - 2$ при $x \ge 3$. Точкой излома является точка $(3, 2)$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых выполняется $y \ge \frac{4}{3}x - 2$ при $x \ge 3$ и $y \ge 2$ при $x < 3$.

б)

Рассмотрим неравенство $|x - 3| + |y + 2| \ge 2x + 5$.

Это неравенство с двумя переменными, и его решением также является область на координатной плоскости. Границы этой области определяются уравнением $|x - 3| + |y + 2| = 2x + 5$. Для решения необходимо раскрыть модули. Прямые $x=3$ и $y=-2$ делят координатную плоскость на четыре области. Рассмотрим неравенство в каждой из них.

Случай 1: Область, где $x \ge 3$ и $y \ge -2$.
В этой области $|x - 3| = x - 3$ и $|y + 2| = y + 2$. Неравенство принимает вид:

$(x - 3) + (y + 2) \ge 2x + 5$

$x + y - 1 \ge 2x + 5$

$y \ge x + 6$

Случай 2: Область, где $x \ge 3$ и $y < -2$.
В этой области $|x - 3| = x - 3$ и $|y + 2| = -(y + 2)$. Неравенство принимает вид:

$(x - 3) - (y + 2) \ge 2x + 5$

$x - y - 5 \ge 2x + 5$

$-y \ge x + 10$

$y \le -x - 10$

Случай 3: Область, где $x < 3$ и $y \ge -2$.
В этой области $|x - 3| = -(x - 3)$ и $|y + 2| = y + 2$. Неравенство принимает вид:

$-(x - 3) + (y + 2) \ge 2x + 5$

$-x + 3 + y + 2 \ge 2x + 5$

$-x + y + 5 \ge 2x + 5$

$y \ge 3x$

Случай 4: Область, где $x < 3$ и $y < -2$.
В этой области $|x - 3| = -(x - 3)$ и $|y + 2| = -(y + 2)$. Неравенство принимает вид:

$-(x - 3) - (y + 2) \ge 2x + 5$

$-x + 3 - y - 2 \ge 2x + 5$

$-x - y + 1 \ge 2x + 5$

$-y \ge 3x + 4$

$y \le -3x - 4$

Объединяя все четыре случая, мы получаем итоговое решение.

Ответ: Множество точек $(x, y)$ на плоскости, удовлетворяющих совокупности условий: при $x \ge 3$ должно выполняться либо $y \ge x + 6$, либо $y \le -x - 10$; при $x < 3$ должно выполняться либо $y \ge 3x$, либо $y \le -3x - 4$.

32.33. a) $|x + y| + 2x - y \geq 3;$

б) $\frac{|x + y|}{x + y} x + |x + y| + y \leq 4.$

а)

Данное неравенство $|x + y| + 2x - y \ge 3$ содержит модуль. Для его решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $x + y \ge 0$, что эквивалентно $y \ge -x$. В этом случае $|x + y| = x + y$. Подставив это в исходное неравенство, получаем:

$(x + y) + 2x - y \ge 3$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Таким образом, в первом случае решением является множество точек, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} y \ge -x \\ x \ge 1 \end{cases}$.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $x + y < 0$, что эквивалентно $y < -x$. В этом случае $|x + y| = -(x + y)$. Неравенство принимает вид:

$-(x + y) + 2x - y \ge 3$

$-x - y + 2x - y \ge 3$

$x - 2y \ge 3$

$-2y \ge 3 - x$

$y \le \frac{x - 3}{2}$

Во втором случае решением является множество точек, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} y < -x \\ y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \end{cases}$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, найденных в этих двух случаях.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих совокупности систем неравенств: $\left[ \begin{gathered} \begin{cases} y \ge -x \\ x \ge 1 \end{cases} \\ \begin{cases} y < -x \\ y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \end{cases} \end{gathered} \right]$.

б)

В неравенстве $\frac{|x + y|}{x + y}x + |x + y| + y \le 4$ присутствует дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю. Поэтому область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x + y \neq 0$.

Для решения раскроем модули, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + y > 0$, что эквивалентно $y > -x$. В этом случае $|x + y| = x + y$ и $\frac{|x + y|}{x + y} = 1$. Неравенство преобразуется к виду:

$1 \cdot x + (x + y) + y \le 4$

$2x + 2y \le 4$

$x + y \le 2$

С учётом условия $x + y > 0$, получаем, что решение в этом случае — это множество точек, для которых выполняется двойное неравенство $0 < x + y \le 2$.

Случай 2: $x + y < 0$, что эквивалентно $y < -x$. В этом случае $|x + y| = -(x + y)$ и $\frac{|x + y|}{x + y} = -1$. Неравенство преобразуется к виду:

$(-1) \cdot x + (-(x + y)) + y \le 4$

$-x - x - y + y \le 4$

$-2x \le 4$

$x \ge -2$

В этом случае решением является множество точек, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} x + y < 0 \\ x \ge -2 \end{cases}$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, найденных в этих двух случаях.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих совокупности: $\left[ \begin{gathered} 0 < x + y \le 2 \\ \begin{cases} x + y < 0 \\ x \ge -2 \end{cases} \end{gathered} \right]$.

32.34. а) $xy \le 2$;

б) $y < \frac{2}{|x|}$;

в) $|x| \cdot y < 2$;

г) $|x| < \frac{2}{y}$.

а) Для решения неравенства $xy \le 2$ рассмотрим соответствующее уравнение $xy = 2$, которое задает гиперболу $y = \frac{2}{x}$ с ветвями в I и III координатных четвертях. Решение неравенства зависит от знака $x$.
1. Если $x > 0$, неравенство можно переписать в виде $y \le \frac{2}{x}$. Это область, расположенная ниже и на ветви гиперболы в I четверти.
2. Если $x < 0$, при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge \frac{2}{x}$. Это область, расположенная выше и на ветви гиперболы в III четверти.
3. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \le 2$, что является верным для любого значения $y$. Следовательно, вся ось ординат ($x=0$) также является частью решения.
Объединяя все случаи, получаем итоговое множество точек.

Ответ: Множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости, удовлетворяющее условиям: $y \le \frac{2}{x}$ при $x > 0$, $y \ge \frac{2}{x}$ при $x < 0$, а также все точки оси ординат ($x=0$).

б) Рассмотрим неравенство $y < \frac{2}{|x|}$.
Прежде всего, заметим, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Это означает, что ось ординат ($x=0$) не входит в область решения.
Границей искомой области является график функции $y = \frac{2}{|x|}$. Раскроем модуль:
- При $x > 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \frac{2}{x}$ (ветвь гиперболы в I четверти).
- При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$ (ветвь гиперболы во II четверти).
График функции $y = \frac{2}{|x|}$ симметричен относительно оси $Oy$.
Неравенство $y < \frac{2}{|x|}$ является строгим, поэтому точки на самой границе в решение не входят. Решением является множество всех точек плоскости, расположенных строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$ координатной плоскости, лежащих строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$. Ось $Oy$ ($x=0$) в решение не входит.

в) Решим неравенство $|x| \cdot y < 2$.
Разобьем решение на два случая в зависимости от значения $x$.
1. Если $x = 0$, то $|x|=0$. Неравенство превращается в $0 \cdot y < 2$, или $0 < 2$. Это утверждение верно для любого действительного значения $y$. Таким образом, вся ось ординат ($x=0$) является частью решения.
2. Если $x \ne 0$, то $|x| > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|x|$, сохранив знак неравенства: $y < \frac{2}{|x|}$. Решением в этом случае является область, лежащая строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$ (как в пункте б).
Итоговое решение является объединением множеств, полученных в этих двух случаях.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, лежащих строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$, а также все точки оси ординат ($x=0$).

г) Рассмотрим неравенство $|x| < \frac{2}{y}$.
Из вида неравенства следует два ограничения. Во-первых, знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $y \ne 0$. Во-вторых, левая часть неравенства $|x|$ всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$). Следовательно, для выполнения строгого неравенства правая часть $\frac{2}{y}$ должна быть строго положительной: $\frac{2}{y} > 0$, что выполняется только при $y > 0$.
Таким образом, мы ищем решения только в верхней полуплоскости ($y > 0$).
Поскольку $y > 0$, мы можем умножить обе части исходного неравенства на $y$, не меняя знака неравенства: $|x| \cdot y < 2$.
Итак, задача сводится к нахождению множества точек, удовлетворяющих системе неравенств: $ \begin{cases} |x| \cdot y < 2 \\ y > 0 \end{cases} $
Решение неравенства $|x| \cdot y < 2$ было найдено в пункте в): это область $y < \frac{2}{|x|}$ при $x \ne 0$ и вся ось $Oy$ при $x=0$.
Теперь необходимо пересечь это множество с условием $y > 0$:
- Для $x \ne 0$: из $y < \frac{2}{|x|}$ и $y > 0$ получаем $0 < y < \frac{2}{|x|}$.
- Для $x = 0$ (ось $Oy$): из $y > 0$ получаем положительную полуось $Oy$.
Объединяя эти результаты, получаем область, заключенную строго между осью $Ox$ и графиком функции $y = \frac{2}{|x|}$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых выполняется двойное неравенство $0 < y < \frac{2}{|x|}$ при $x \ne 0$, а также все точки положительной полуоси $Oy$ ($x=0, y>0$). Это область, заключенная строго между осью абсцисс и графиком функции $y = \frac{2}{|x|}$.

32.35. а) $xy > -3$;

б) $\frac{-3}{|y|} < x$;

в) $y \ge -\frac{3}{x}$;

г) $\frac{-3}{y} < |x|$.

а) Рассматриваем неравенство $xy > -3$.

Это неравенство определяет область на координатной плоскости. Границей этой области является гипербола $xy = -3$, или $y = -3/x$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на самой гиперболе не входят в множество решений.

Для нахождения области решения выразим $y$ через $x$. Для этого необходимо разделить неравенство на $x$. Знак неравенства при этом зависит от знака $x$.

1. Если $x > 0$: делим обе части на $x$, знак неравенства не меняется. Получаем $y > -3/x$. Это область над ветвью гиперболы, расположенной в четвертой координатной четверти.
2. Если $x < 0$: делим обе части на $x$, знак неравенства меняется на противоположный. Получаем $y < -3/x$. Это область под ветвью гиперболы, расположенной во второй координатной четверти.
3. Если $x = 0$: неравенство принимает вид $0 \cdot y > -3$, то есть $0 > -3$. Это верное неравенство при любом значении $y$. Следовательно, вся ось $y$ (при $x=0$) является решением.

Объединяя все случаи, получаем искомое множество точек.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих одному из условий: 1) $x > 0$ и $y > -3/x$; 2) $x < 0$ и $y < -3/x$; 3) $x=0$ и $y$ — любое действительное число.

б) Рассматриваем неравенство $\frac{-3}{|y|} < x$.

Область допустимых значений переменной $y$ определяется условием $|y| \ne 0$, то есть $y \ne 0$.

Поскольку знаменатель $|y|$ всегда положителен при $y \ne 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $|y|$, не меняя знака неравенства:

$-3 < x|y|$ или $x|y| > -3$.

Далее рассмотрим три случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x > 0$: произведение $x|y|$ является произведением двух положительных чисел ($x > 0$ и $|y| > 0$), поэтому оно всегда положительно. Любое положительное число больше $-3$. Таким образом, при $x > 0$ неравенство выполняется для любого $y \ne 0$.
2. Если $x = 0$: неравенство принимает вид $0 \cdot |y| > -3$, или $0 > -3$. Это верное неравенство. Таким образом, при $x=0$ неравенство выполняется для любого $y \ne 0$.
3. Если $x < 0$: делим обе части неравенства $x|y| > -3$ на отрицательное число $x$, меняя знак неравенства на противоположный: $|y| < -3/x$. Так как $x < 0$, выражение $-3/x$ положительно. Неравенство $|y| < a$ (где $a>0$) равносильно системе $-a < y < a$. Следовательно, получаем $-( -3/x ) < y < -3/x$, то есть $3/x < y < -3/x$. При этом необходимо помнить, что $y \ne 0$.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих одному из условий: 1) $x \ge 0$ и $y \ne 0$; 2) $x < 0$ и $3/x < y < -3/x$, при этом $y \ne 0$.

в) Рассматриваем неравенство $y \ge -\frac{3}{x}$.

Данное неравенство уже выражено относительно $y$. Область допустимых значений для $x$ определяется знаменателем дроби, то есть $x \ne 0$.

Решением является множество всех точек координатной плоскости, у которых координата $y$ больше или равна значению выражения $-3/x$.

Границей области является гипербола $y = -3/x$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на самой гиперболе включаются в решение.

Решение состоит из всех точек $(x,y)$, которые лежат на гиперболе $y = -3/x$ или выше нее, при условии, что $x \ne 0$. Это означает, что все точки на оси $y$ исключены из решения.

Ответ: Множество всех точек $(x,y)$, для которых $x \ne 0$ и выполняется неравенство $y \ge -3/x$.

г) Рассматриваем неравенство $\frac{-3}{y} < |x|$.

Область допустимых значений переменной $y$ определяется условием $y \ne 0$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $y$.

1. Если $y > 0$: левая часть неравенства, $\frac{-3}{y}$, является отрицательным числом. Правая часть, $|x|$, является неотрицательным числом ($|x| \ge 0$). Неравенство "отрицательное число < неотрицательное число" всегда истинно. Следовательно, все точки верхней полуплоскости ($y > 0$) являются решением.
2. Если $y < 0$: левая часть неравенства, $\frac{-3}{y}$, является положительным числом. Правая часть, $|x|$, также должна быть положительной, так как если $x=0$, то $\frac{-3}{y} < 0$, что неверно при $y<0$. Итак, $x \ne 0$. Поскольку обе части неравенства положительны, можно выполнять преобразования. Умножим обе части на $y$ (отрицательное число), изменив знак неравенства на противоположный: $-3 > y|x|$, или $y|x| < -3$. Теперь разделим на $|x|$ (положительное число): $y < \frac{-3}{|x|}$.

Объединяем решения для обоих случаев. График функции $y = -3/|x|$ состоит из двух ветвей: $y = -3/x$ при $x > 0$ и $y = 3/x$ при $x < 0$.

Ответ: Решением является объединение двух множеств точек $(x,y)$: 1) вся верхняя полуплоскость, где $y > 0$; 2) область в нижней полуплоскости, где $y < 0$ и $y < -3/|x|$.

32.36. a) $|x| + |y| \le 4$;

б) $|y - 3| + |x + 1| \ge 5$;

в) $2|x| + 3|y| \le 6$;

г) $\frac{|x - 3|}{2} + \frac{|y + 1|}{5} \le 1$.

а) $|x| + |y| \le 4$

Данное неравенство описывает множество точек на координатной плоскости. Рассмотрим сначала граничный случай — уравнение $|x| + |y| = 4$. Чтобы построить график этого уравнения, раскроем модули в каждом из четырёх координатных квадрантов:

• В I квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$): $x + y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(4, 0)$ и $(0, 4)$.
• Во II квадранте ($x < 0, y \ge 0$): $-x + y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 4)$ и $(-4, 0)$.
• В III квадранте ($x < 0, y < 0$): $-x - y = 4$, или $x + y = -4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.
• В IV квадранте ($x \ge 0, y < 0$): $x - y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$.

Вместе эти четыре отрезка образуют квадрат с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.

Неравенство $|x| + |y| \le 4$ включает в себя точки как на границе (квадрате), так и внутри него. Чтобы проверить это, возьмём пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставив её в неравенство, получим: $|0| + |0| = 0 \le 4$. Неравенство верное, значит, область, содержащая начало координат, является решением.

Ответ: Множество точек, ограниченное квадратом с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(-4, 0)$, $(0, -4)$, включая его границу и внутреннюю область.

б) $|y - 3| + |x + 1| \ge 5$

Это неравенство можно упростить, сделав замену переменных. Пусть $X = x + 1$ и $Y = y - 3$. Тогда неравенство принимает вид $|X| + |Y| \ge 5$.

Это неравенство описывает область на плоскости $(X, Y)$. Границей этой области является квадрат с вершинами в точках $(5, 0)$, $(0, 5)$, $(-5, 0)$, $(0, -5)$, заданный уравнением $|X| + |Y| = 5$.

Знак неравенства "$\ge$" означает, что решением являются все точки на границе этого квадрата и все точки вне его. Проверим это с помощью пробной точки $(0, 0)$ в системе $(X, Y)$: $|0| + |0| = 0$. Так как $0 \ge 5$ — ложно, то начало координат не входит в область решения.

Теперь вернёмся к исходным переменным $x$ и $y$. Центр фигуры в системе $(X, Y)$ находится в точке $(0, 0)$. В системе $(x, y)$ это соответствует точке, где $x + 1 = 0$ и $y - 3 = 0$, то есть точке $(-1, 3)$.

Найдём вершины квадрата в системе $(x, y)$:

• $X=5, Y=0 \implies x+1=5, y-3=0 \implies x=4, y=3$. Вершина $(4, 3)$.
• $X=0, Y=5 \implies x+1=0, y-3=5 \implies x=-1, y=8$. Вершина $(-1, 8)$.
• $X=-5, Y=0 \implies x+1=-5, y-3=0 \implies x=-6, y=3$. Вершина $(-6, 3)$.
• $X=0, Y=-5 \implies x+1=0, y-3=-5 \implies x=-1, y=-2$. Вершина $(-1, -2)$.

Ответ: Множество всех точек координатной плоскости, расположенных на границе и вне квадрата с вершинами в точках $(4, 3)$, $(-1, 8)$, $(-6, 3)$ и $(-1, -2)$.

в) $2|x| + 3|y| \le 6$

Рассмотрим границу области, заданную уравнением $2|x| + 3|y| = 6$. Это уравнение можно переписать в виде $\frac{2|x|}{6} + \frac{3|y|}{6} = 1$, что эквивалентно $\frac{|x|}{3} + \frac{|y|}{2} = 1$.

Эта форма удобна для нахождения пересечений с осями координат, которые и будут вершинами фигуры:

• Если $y=0$, то $\frac{|x|}{3} = 1 \implies |x|=3 \implies x=\pm3$. Точки пересечения с осью Ox: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.
• Если $x=0$, то $\frac{|y|}{2} = 1 \implies |y|=2 \implies y=\pm2$. Точки пересечения с осью Oy: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Эти четыре точки являются вершинами ромба. Знак неравенства "$\le$" указывает, что решением является область внутри ромба, включая его границу. Проверим это, подставив в исходное неравенство координаты начала координат $(0, 0)$: $2|0| + 3|0| = 0 \le 6$. Неравенство верное, значит, внутренняя область ромба является решением.

Ответ: Множество точек, ограниченное ромбом с вершинами в точках $(3, 0)$, $(0, 2)$, $(-3, 0)$ и $(0, -2)$, включая его границу и внутреннюю область.

г) $\frac{|x - 3|}{2} + \frac{|y + 1|}{5} \le 1$

Как и в пункте б), используем замену переменных для упрощения. Пусть $X = x - 3$ и $Y = y + 1$. Неравенство принимает вид $\frac{|X|}{2} + \frac{|Y|}{5} \le 1$.

Это неравенство описывает ромб и его внутреннюю область в системе координат $(X, Y)$. Найдём вершины этого ромба из граничного уравнения $\frac{|X|}{2} + \frac{|Y|}{5} = 1$:

• При $Y=0$, $|X|=2 \implies X=\pm2$. Вершины в $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.
• При $X=0$, $|Y|=5 \implies Y=\pm5$. Вершины в $(0, 5)$ и $(0, -5)$.

Неравенство "$\le$" означает, что решением в системе $(X, Y)$ является область внутри этого ромба и его граница.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти положение ромба в системе $(x, y)$. Центр ромба $X=0, Y=0$ соответствует точке $x-3=0, y+1=0$, то есть $(3, -1)$.

Найдём вершины ромба в системе $(x, y)$:

• $X=2, Y=0 \implies x-3=2, y+1=0 \implies x=5, y=-1$. Вершина $(5, -1)$.
• $X=0, Y=5 \implies x-3=0, y+1=5 \implies x=3, y=4$. Вершина $(3, 4)$.
• $X=-2, Y=0 \implies x-3=-2, y+1=0 \implies x=1, y=-1$. Вершина $(1, -1)$.
• $X=0, Y=-5 \implies x-3=0, y+1=-5 \implies x=3, y=-6$. Вершина $(3, -6)$.

Ответ: Множество точек, ограниченное ромбом с вершинами в точках $(5, -1)$, $(3, 4)$, $(1, -1)$ и $(3, -6)$, включая его границу и внутреннюю область.

32.37. a) $\frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0;$

б) $\frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0.$

a)

Рассмотрим неравенство $\frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0$.
Дробь будет неотрицательной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, либо если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

Важным условием является то, что знаменатель не может быть равен нулю: $2x + 3y - 6 \neq 0$, что означает, что точки, лежащие на прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$, не входят в решение. На графике эта прямая изображается пунктирной линией.

Границами, разделяющими плоскость на области, являются прямые, где числитель или знаменатель равны нулю:
1. $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ и $x = -2$. Это две вертикальные прямые. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на этих прямых входят в решение (сплошные линии), кроме тех, где знаменатель равен нулю.
2. $2x + 3y - 6 = 0 \implies y = -\frac{2}{3}x + 2$. Это наклонная прямая.

Разобьем задачу на два случая:

Случай 1: Числитель и знаменатель положительны (числитель может быть равен нулю).
$\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ 2x + 3y - 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \le 4 \\ 3y > -2x + 6 \end{cases} \implies \begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y > -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$
Решением этой системы является область, заключенная между вертикальными прямыми $x = -2$ и $x = 2$ (включая эти прямые) и расположенная выше прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$ (не включая прямую).

Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны (числитель может быть равен нулю).
$\begin{cases} 4 - x^2 \le 0 \\ 2x + 3y - 6 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \ge 4 \\ 3y < -2x + 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -2 \text{ или } x \ge 2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$
Решением этой системы является объединение двух областей:
- область левее прямой $x = -2$ (включая прямую) и ниже прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$ (не включая прямую);
- область правее прямой $x = 2$ (включая прямую) и ниже прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$ (не включая прямую).

Общее решение неравенства — это объединение областей, найденных в обоих случаях.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой объединение двух непересекающихся областей. Первая область задается системой $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y > -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$. Вторая область представляет собой объединение двух частей плоскости, заданных условиями $\begin{cases} x \le -2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$ и $\begin{cases} x \ge 2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$. Граничные прямые $x=-2$ и $x=2$ входят в решение, а прямая $y = -\frac{2}{3}x + 2$ не входит.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0$.
Дробь будет неположительной, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, либо если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

Знаменатель не может быть равен нулю: $|x| + |y| - 2 \neq 0$, то есть $|x| + |y| \neq 2$. Это уравнение задает квадрат с вершинами в точках $(2,0), (0,2), (-2,0), (0,-2)$. Граница этого квадрата не входит в решение (изображается пунктирной линией).

Границами, разделяющими плоскость на области, являются:
1. $x^2 + y^2 - 4 = 0 \implies x^2 + y^2 = 4$. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на окружности входят в решение (сплошная линия), кроме тех, где знаменатель равен нулю.
2. $|x| + |y| - 2 = 0 \implies |x| + |y| = 2$. Это упомянутый выше квадрат.

Разобьем задачу на два случая:

Случай 1: Числитель неотрицателен, а знаменатель отрицателен.
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \ge 0 \\ |x| + |y| - 2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 4 \\ |x| + |y| < 2 \end{cases}$
Проанализируем второе неравенство. Если $|x| + |y| < 2$, то, возведя в квадрат обе части (они неотрицательны), получим $(|x| + |y|)^2 < 4$, что раскрывается как $x^2 + y^2 + 2|xy| < 4$. Так как $2|xy| \ge 0$, то отсюда следует, что $x^2 + y^2 < 4$. Это противоречит первому неравенству системы $x^2 + y^2 \ge 4$. Следовательно, эта система не имеет решений.

Случай 2: Числитель неположителен, а знаменатель положителен.
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \le 0 \\ |x| + |y| - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| + |y| > 2 \end{cases}$
Решением этой системы являются точки, которые находятся одновременно:
- внутри или на границе круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 2;
- вне квадрата с вершинами $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$.

Квадрат $|x|+|y|=2$ вписан в окружность $x^2+y^2=4$. Вершины квадрата $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ лежат на окружности. В этих четырех точках знаменатель обращается в ноль, поэтому они не входят в искомое множество. Таким образом, решением является область между окружностью и квадратом.

Ответ: Искомое множество точек — это фигура, ограниченная снаружи окружностью $x^2 + y^2 = 4$ и изнутри квадратом $|x| + |y| = 2$. Граница окружности включается в решение, за исключением четырех вершин квадрата $(\pm 2, 0)$ и $(0, \pm 2)$, а граница квадрата не включается.

32.38. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:

а) $ \begin{cases} x \le 2, \\ 3y - x \le 4, \\ y \ge -x; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y \le 12, \\ y - x \le 12, \\ y \ge 0. \end{cases} $

а)

Фигура, заданная данной системой неравенств, представляет собой треугольник. Границы этой фигуры лежат на прямых, которые получаются из исходных неравенств заменой знаков неравенства на знаки равенства: $l_1: x = 2$, $l_2: 3y - x = 4$ (или $y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$), и $l_3: y = -x$.

Для нахождения площади этого треугольника сначала определим координаты его вершин, которые являются точками пересечения этих прямых.

Вершина A (пересечение $l_1$ и $l_3$):
Из системы $\begin{cases} x = 2 \\ y = -x \end{cases}$ находим $y = -2$. Таким образом, координаты вершины A: $(2, -2)$.

Вершина B (пересечение $l_1$ и $l_2$):
Из системы $\begin{cases} x = 2 \\ 3y - x = 4 \end{cases}$ находим $3y - 2 = 4 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. Таким образом, координаты вершины B: $(2, 2)$.

Вершина C (пересечение $l_2$ и $l_3$):
Из системы $\begin{cases} 3y - x = 4 \\ y = -x \end{cases}$ находим, подставляя $y=-x$ в первое уравнение: $3(-x) - x = 4 \implies -4x = 4 \implies x = -1$. Тогда $y = -(-1) = 1$. Таким образом, координаты вершины C: $(-1, 1)$.

Итак, мы имеем треугольник с вершинами A(2, -2), B(2, 2) и C(-1, 1). Для вычисления его площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота. В качестве основания выберем сторону AB. Поскольку обе точки A и B имеют координату $x=2$, эта сторона является вертикальным отрезком. Длина основания равна $a = |y_B - y_A| = |2 - (-2)| = 4$.

Высота $h$, проведенная к этому основанию из вершины C, равна горизонтальному расстоянию от точки C до прямой $x=2$. Это расстояние равно $h = |x_A - x_C| = |2 - (-1)| = 3$.

Площадь треугольника равна: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

б)

Фигура, заданная системой неравенств, является треугольником. Его стороны лежат на прямых: $l_1: x + y = 12$ (или $y = -x+12$), $l_2: y - x = 12$ (или $y = x+12$), и $l_3: y = 0$ (ось абсцисс).

Найдем вершины этого треугольника, решив системы уравнений для каждой пары прямых.

Вершина A (пересечение $l_1$ и $l_3$):
Из системы $\begin{cases} x + y = 12 \\ y = 0 \end{cases}$ находим $x = 12$. Таким образом, координаты вершины A: $(12, 0)$.

Вершина B (пересечение $l_2$ и $l_3$):
Из системы $\begin{cases} y - x = 12 \\ y = 0 \end{cases}$ находим $-x = 12 \implies x = -12$. Таким образом, координаты вершины B: $(-12, 0)$.

Вершина C (пересечение $l_1$ и $l_2$):
Из системы $\begin{cases} x + y = 12 \\ y - x = 12 \end{cases}$ сложим уравнения: $(x+y) + (y-x) = 12+12 \implies 2y = 24 \implies y = 12$. Подставив y в первое уравнение, получим $x + 12 = 12 \implies x = 0$. Таким образом, координаты вершины C: $(0, 12)$.

Получили треугольник с вершинами A(12, 0), B(-12, 0) и C(0, 12). В качестве основания $a$ выберем сторону AB, которая лежит на оси Ox. Длина основания равна $a = |x_A - x_B| = |12 - (-12)| = 24$.

Высота $h$, проведенная к этому основанию из вершины C, равна ординате точки C, так как основание лежит на оси Ox. Таким образом, $h = 12$.

Площадь треугольника равна: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$.

Ответ: 144.