Номер 32.38, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.38, страница 207.

32.38. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:

а) $ \begin{cases} x \le 2, \\ 3y - x \le 4, \\ y \ge -x; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y \le 12, \\ y - x \le 12, \\ y \ge 0. \end{cases} $

а)

Фигура, заданная данной системой неравенств, представляет собой треугольник. Границы этой фигуры лежат на прямых, которые получаются из исходных неравенств заменой знаков неравенства на знаки равенства: $l_1: x = 2$, $l_2: 3y - x = 4$ (или $y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$), и $l_3: y = -x$.

Для нахождения площади этого треугольника сначала определим координаты его вершин, которые являются точками пересечения этих прямых.

Вершина A (пересечение $l_1$ и $l_3$):
Из системы $\begin{cases} x = 2 \\ y = -x \end{cases}$ находим $y = -2$. Таким образом, координаты вершины A: $(2, -2)$.

Вершина B (пересечение $l_1$ и $l_2$):
Из системы $\begin{cases} x = 2 \\ 3y - x = 4 \end{cases}$ находим $3y - 2 = 4 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. Таким образом, координаты вершины B: $(2, 2)$.

Вершина C (пересечение $l_2$ и $l_3$):
Из системы $\begin{cases} 3y - x = 4 \\ y = -x \end{cases}$ находим, подставляя $y=-x$ в первое уравнение: $3(-x) - x = 4 \implies -4x = 4 \implies x = -1$. Тогда $y = -(-1) = 1$. Таким образом, координаты вершины C: $(-1, 1)$.

Итак, мы имеем треугольник с вершинами A(2, -2), B(2, 2) и C(-1, 1). Для вычисления его площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота. В качестве основания выберем сторону AB. Поскольку обе точки A и B имеют координату $x=2$, эта сторона является вертикальным отрезком. Длина основания равна $a = |y_B - y_A| = |2 - (-2)| = 4$.

Высота $h$, проведенная к этому основанию из вершины C, равна горизонтальному расстоянию от точки C до прямой $x=2$. Это расстояние равно $h = |x_A - x_C| = |2 - (-1)| = 3$.

Площадь треугольника равна: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

б)

Фигура, заданная системой неравенств, является треугольником. Его стороны лежат на прямых: $l_1: x + y = 12$ (или $y = -x+12$), $l_2: y - x = 12$ (или $y = x+12$), и $l_3: y = 0$ (ось абсцисс).

Найдем вершины этого треугольника, решив системы уравнений для каждой пары прямых.

Вершина A (пересечение $l_1$ и $l_3$):
Из системы $\begin{cases} x + y = 12 \\ y = 0 \end{cases}$ находим $x = 12$. Таким образом, координаты вершины A: $(12, 0)$.

Вершина B (пересечение $l_2$ и $l_3$):
Из системы $\begin{cases} y - x = 12 \\ y = 0 \end{cases}$ находим $-x = 12 \implies x = -12$. Таким образом, координаты вершины B: $(-12, 0)$.

Вершина C (пересечение $l_1$ и $l_2$):
Из системы $\begin{cases} x + y = 12 \\ y - x = 12 \end{cases}$ сложим уравнения: $(x+y) + (y-x) = 12+12 \implies 2y = 24 \implies y = 12$. Подставив y в первое уравнение, получим $x + 12 = 12 \implies x = 0$. Таким образом, координаты вершины C: $(0, 12)$.

Получили треугольник с вершинами A(12, 0), B(-12, 0) и C(0, 12). В качестве основания $a$ выберем сторону AB, которая лежит на оси Ox. Длина основания равна $a = |x_A - x_B| = |12 - (-12)| = 24$.

Высота $h$, проведенная к этому основанию из вершины C, равна ординате точки C, так как основание лежит на оси Ox. Таким образом, $h = 12$.

Площадь треугольника равна: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$.

Ответ: 144.