Номер 32.43, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.43, страница 208.

•32.43. Найдите целочисленные решения неравенства:

а) $5\sqrt{3x - 2y - 4} + 3\sqrt{2x + 3y - 7} \leq 2;$

б) $4\sqrt{2x + 3y} + 3\sqrt{3x + 4y} < 3,5.$

а) В неравенстве $5\sqrt{3x - 2y - 4} + 3\sqrt{2x + 3y - 7} \le 2$ выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то выражения $A = 3x - 2y - 4$ и $B = 2x + 3y - 7$ также должны быть целыми и неотрицательными, то есть $A \ge 0, B \ge 0$.
Неравенство принимает вид $5\sqrt{A} + 3\sqrt{B} \le 2$.
Левая часть неравенства представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых.
Если предположить, что $A \ge 1$, то $5\sqrt{A} \ge 5\sqrt{1} = 5$. Тогда левая часть $5\sqrt{A} + 3\sqrt{B} \ge 5$, что противоречит условию $\le 2$. Следовательно, $A$ может быть только $0$.
При $A=0$ неравенство принимает вид $3\sqrt{B} \le 2$, или $\sqrt{B} \le \frac{2}{3}$. Возводя в квадрат, получаем $B \le \frac{4}{9}$. Так как $B$ — целое неотрицательное число, единственно возможное значение для $B$ — это $0$.
Таким образом, целочисленные решения неравенства должны удовлетворять системе уравнений: $\begin{cases} 3x - 2y - 4 = 0 \\ 2x + 3y - 7 = 0 \end{cases}$, или $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$.
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы исключить $y$: $\begin{cases} 9x - 6y = 12 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases}$.
Сложив уравнения, получим $13x = 26$, откуда $x=2$.
Подставив $x=2$ в первое уравнение системы ($3x - 2y = 4$), найдем $y$:
$3(2) - 2y = 4 \implies 6 - 2y = 4 \implies 2y = 2 \implies y=1$.
Единственным целочисленным решением является пара $(2, 1)$. Проверим его: $5\sqrt{3(2)-2(1)-4} + 3\sqrt{2(2)+3(1)-7} = 5\sqrt{0} + 3\sqrt{0} = 0 \le 2$. Неравенство выполняется.
Ответ: $(2, 1)$.

б) В неравенстве $4\sqrt{2x + 3y} + 3\sqrt{3x + 4y} < 3,5$ выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Пусть $C = 2x + 3y$ и $D = 3x + 4y$. Поскольку $x, y$ — целые числа, $C$ и $D$ должны быть целыми и неотрицательными, $C \ge 0, D \ge 0$.
Неравенство принимает вид $4\sqrt{C} + 3\sqrt{D} < 3,5$.
Левая часть является суммой двух неотрицательных слагаемых.
Если предположить, что $C \ge 1$, то $4\sqrt{C} \ge 4\sqrt{1} = 4$. Тогда левая часть $4\sqrt{C} + 3\sqrt{D} \ge 4$, что противоречит условию $< 3,5$. Следовательно, $C$ может быть только $0$.
При $C=0$ неравенство принимает вид $3\sqrt{D} < 3,5$, или $\sqrt{D} < \frac{3,5}{3} = \frac{7}{6}$. Возводя в квадрат, получаем $D < (\frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36} \approx 1.36$.
Так как $D$ — целое неотрицательное число, возможные значения для $D$ это $0$ и $1$.
Рассмотрим два случая:
1) $C = 0$ и $D = 0$. Это приводит к системе уравнений: $\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases}$.
Единственным целым решением этой системы является $x=0, y=0$. Проверка: $4\sqrt{0}+3\sqrt{0} = 0 < 3,5$. Решение $(0,0)$ подходит.
2) $C = 0$ и $D = 1$. Это приводит к системе уравнений: $\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases}$.
Из первого уравнения $2x = -3y$. Поскольку $x$ и $y$ — целые, решение должно иметь вид $x=3k, y=-2k$ для некоторого целого $k$. Подставим это во второе уравнение: $3(3k) + 4(-2k) = 1 \implies 9k - 8k = 1 \implies k=1$.
При $k=1$ получаем $x=3, y=-2$. Проверка: $4\sqrt{2(3)+3(-2)} + 3\sqrt{3(3)+4(-2)} = 4\sqrt{0} + 3\sqrt{1} = 3 < 3,5$. Решение $(3, -2)$ подходит.
Других целочисленных решений нет, так как мы рассмотрели все возможные значения для $C$ и $D$.
Ответ: $(0, 0)$, $(3, -2)$.