Номер 33.5, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.5, страница 209.

33.5. Решите систему уравнений методом введения новых переменных:

a) $\begin{cases} \frac{5}{3x - y} + \frac{3}{x - 3y} = -2, \\ \frac{15}{3x - y} + \frac{2}{x - 3y} = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{3}{x + y} + \frac{6}{x - y} = -1, \\ \frac{5}{x + y} + \frac{9}{x - y} = -2.\end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{5}{3x - y} + \frac{3}{x - 3y} = -2, \\ \frac{15}{3x - y} + \frac{2}{x - 3y} = 1; \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{3x - y}$ и $v = \frac{1}{x - 3y}$. С учетом этих замен система примет вид:

$ \begin{cases} 5u + 3v = -2, \\ 15u + 2v = 1. \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на -3, чтобы исключить переменную $u$:

$ \begin{cases} -15u - 9v = 6, \\ 15u + 2v = 1. \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(-15u - 9v) + (15u + 2v) = 6 + 1$

$-7v = 7$

$v = -1$

Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение системы $5u + 3v = -2$:

$5u + 3(-1) = -2$

$5u - 3 = -2$

$5u = 1$

$u = \frac{1}{5}$

Теперь выполним обратную замену:

$ \begin{cases} \frac{1}{3x - y} = \frac{1}{5}, \\ \frac{1}{x - 3y} = -1. \end{cases} $

Из этого следует:

$ \begin{cases} 3x - y = 5, \\ x - 3y = -1. \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 3y - 1$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(3y - 1) - y = 5$

$9y - 3 - y = 5$

$8y = 8$

$y = 1$

Найдем $x$:

$x = 3(1) - 1 = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

б)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3}{x + y} + \frac{6}{x - y} = -1, \\ \frac{5}{x + y} + \frac{9}{x - y} = -2. \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x + y}$ и $b = \frac{1}{x - y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 3a + 6b = -1, \\ 5a + 9b = -2. \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы исключить переменную $b$:

$ \begin{cases} 9a + 18b = -3, \\ -10a - 18b = 4. \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(9a + 18b) + (-10a - 18b) = -3 + 4$

$-a = 1$

$a = -1$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение системы $3a + 6b = -1$:

$3(-1) + 6b = -1$

$-3 + 6b = -1$

$6b = 2$

$b = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

$ \begin{cases} \frac{1}{x + y} = -1, \\ \frac{1}{x - y} = \frac{1}{3}. \end{cases} $

Из этого следует:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x - y = 3. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = -1 + 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим значение $x$ в первое уравнение $x + y = -1$:

$1 + y = -1$

$y = -2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; -2)$.

Ответ: $(1; -2)$.