Номер 33.11, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.11, страница 210.

33.11. a) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x^4 - y^4 = 65; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x^4 = x^2y^2 + 1, \\ 3x^4 = x^2y^2 + 2. \end{cases} $

а) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x^4 - y^4 = 65; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=x^2$ и $b=y^2$.
$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$
Таким образом, второе уравнение системы принимает вид:
$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 65$
Из первого уравнения системы мы знаем, что $x^2 + y^2 = 13$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:
$(x^2 - y^2) \cdot 13 = 65$
Отсюда найдем значение выражения $x^2 - y^2$:
$x^2 - y^2 = \frac{65}{13} = 5$
Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений относительно $x^2$ и $y^2$:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} $
Сложим два уравнения этой системы:
$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 13 + 5$
$2x^2 = 18$
$x^2 = 9$
Отсюда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 13 - 5$
$2y^2 = 8$
$y^2 = 4$
Отсюда $y = \pm\sqrt{4}$, то есть $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.
Комбинируя возможные значения для $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(3; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2)$.

б) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 2x^4 = x^2y^2 + 1, \\ 3x^4 = x^2y^2 + 2. \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(3x^4) - (2x^4) = (x^2y^2 + 2) - (x^2y^2 + 1)$
$x^4 = x^2y^2 + 2 - x^2y^2 - 1$
$x^4 = 1$
Так как $x^4=1$, то $x^2=1$ (поскольку $x^2$ не может быть отрицательным).
Из $x^2=1$ следует, что $x = \pm 1$.
Теперь подставим значение $x^4 = 1$ в первое уравнение исходной системы:
$2 \cdot 1 = x^2y^2 + 1$
$2 = x^2y^2 + 1$
$x^2y^2 = 1$
Мы уже знаем, что $x^2=1$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$1 \cdot y^2 = 1$
$y^2 = 1$
Отсюда $y = \pm 1$.
Комбинируя возможные значения $x = \pm 1$ и $y = \pm 1$, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(1; 1), (1; -1), (-1; 1), (-1; -1)$.