Номер 33.16, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.16, страница 211.

33.16. a) $\begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = -1, \\ 2x^2 - 3xy - 3y^2 = -4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy + 4y^2 = 6, \\ 3x^2 + 8y^2 = 14. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = -1, \\ 2x^2 - 3xy - 3y^2 = -4 \end{cases} $$ Это система с однородными левыми частями. Чтобы ее решить, приведем ее к одному однородному уравнению. Для этого избавимся от свободных членов. Умножим первое уравнение на 4, чтобы свободные члены в обоих уравнениях стали равны: $$ 4(x^2 + 3xy + y^2) = 4(-1) \\ 4x^2 + 12xy + 4y^2 = -4 $$ Теперь второе уравнение системы и полученное уравнение имеют равные правые части. Приравняем их левые части: $$ 4x^2 + 12xy + 4y^2 = 2x^2 - 3xy - 3y^2 $$ Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые: $$ (4x^2 - 2x^2) + (12xy + 3xy) + (4y^2 + 3y^2) = 0 \\ 2x^2 + 15xy + 7y^2 = 0 $$ Мы получили однородное уравнение. Заметим, что $y \ne 0$, так как если $y=0$, то из полученного уравнения следует, что $2x^2=0$, то есть $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением исходной системы (проверка: $0^2+3 \cdot 0 \cdot 0 + 0^2 = 0 \ne -1$). Разделим однородное уравнение на $y^2$: $$ 2\frac{x^2}{y^2} + 15\frac{xy}{y^2} + 7\frac{y^2}{y^2} = 0 \\ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 15\left(\frac{x}{y}\right) + 7 = 0 $$ Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение: $$ 2t^2 + 15t + 7 = 0 $$ Найдем его корни через дискриминант: $$ D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 225 - 56 = 169 = 13^2 $$ $$ t_1 = \frac{-15 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7 $$ $$ t_2 = \frac{-15 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Вернемся к замене. Получаем два случая: 1) $\frac{x}{y} = -7$, откуда $x = -7y$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы: $$ (-7y)^2 + 3(-7y)y + y^2 = -1 \\ 49y^2 - 21y^2 + y^2 = -1 \\ 29y^2 = -1 \\ y^2 = -\frac{1}{29} $$ Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. 2) $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -2x$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы: $$ x^2 + 3x(-2x) + (-2x)^2 = -1 \\ x^2 - 6x^2 + 4x^2 = -1 \\ -x^2 = -1 \\ x^2 = 1 $$ Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -2 \cdot 1 = -2$. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -2 \cdot (-1) = 2$. Таким образом, система имеет два решения: $(1, -2)$ и $(-1, 2)$.
Ответ: $(1, -2), (-1, 2)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy + 4y^2 = 6, \\ 3x^2 + 8y^2 = 14 \end{cases} $$ Используем тот же метод, что и в пункте а). Избавимся от свободных членов. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе на 3, чтобы правые части стали равны 42: $$ \begin{cases} 7(x^2 + xy + 4y^2) = 7 \cdot 6 \\ 3(3x^2 + 8y^2) = 3 \cdot 14 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x^2 + 7xy + 28y^2 = 42, \\ 9x^2 + 24y^2 = 42 \end{cases} $$ Приравняем левые части уравнений: $$ 7x^2 + 7xy + 28y^2 = 9x^2 + 24y^2 $$ Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные: $$ (9x^2 - 7x^2) - 7xy + (24y^2 - 28y^2) = 0 \\ 2x^2 - 7xy - 4y^2 = 0 $$ Получили однородное уравнение. Случай $y=0$ приводит к $x=0$, что не является решением исходной системы ($0 \ne 6$). Поэтому можно разделить уравнение на $y^2$: $$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 7\left(\frac{x}{y}\right) - 4 = 0 $$ Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$: $$ 2t^2 - 7t - 4 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $$ $$ t_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Рассмотрим два случая: 1) $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$. Подставим это во второе уравнение исходной системы (оно проще): $$ 3(4y)^2 + 8y^2 = 14 \\ 3(16y^2) + 8y^2 = 14 \\ 48y^2 + 8y^2 = 14 \\ 56y^2 = 14 \\ y^2 = \frac{14}{56} = \frac{1}{4} $$ Отсюда $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = -\frac{1}{2}$. Найдем соответствующие значения $x$: Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Если $y_2 = -\frac{1}{2}$, то $x_2 = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$. Получили два решения: $(2, \frac{1}{2})$ и $(-2, -\frac{1}{2})$. 2) $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -2x$. Подставим во второе уравнение системы: $$ 3x^2 + 8(-2x)^2 = 14 \\ 3x^2 + 8(4x^2) = 14 \\ 3x^2 + 32x^2 = 14 \\ 35x^2 = 14 \\ x^2 = \frac{14}{35} = \frac{2}{5} $$ Отсюда $x_3 = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ и $x_4 = -\sqrt{\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{10}}{5}$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_3 = \frac{\sqrt{10}}{5}$, то $y_3 = -2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = -\frac{2\sqrt{10}}{5}$. Если $x_4 = -\frac{\sqrt{10}}{5}$, то $y_4 = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{2\sqrt{10}}{5}$. Получили еще два решения: $(\frac{\sqrt{10}}{5}, -\frac{2\sqrt{10}}{5})$ и $(-\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{2\sqrt{10}}{5})$.
Ответ: $(2, \frac{1}{2})$, $(-2, -\frac{1}{2})$, $(\frac{\sqrt{10}}{5}, -\frac{2\sqrt{10}}{5})$, $(-\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{2\sqrt{10}}{5})$.