Номер 33.19, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.19, страница 211.

33.19. a) $\begin{cases} \sqrt{x - y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x - y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 2y = 10, \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x - 3y} = 2. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x - y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x - y = 4; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x - y \ge 0$

$x + 3y \ge 0$

Из второго уравнения системы выразим y через x:

$y = 2x - 4$

Подставим это выражение в первое уравнение и в неравенства ОДЗ.

Проверка ОДЗ:

1) $x - (2x - 4) \ge 0 \implies x - 2x + 4 \ge 0 \implies -x + 4 \ge 0 \implies x \le 4$.

2) $x + 3(2x - 4) \ge 0 \implies x + 6x - 12 \ge 0 \implies 7x \ge 12 \implies x \ge \frac{12}{7}$.

Таким образом, ОДЗ для переменной x: $\frac{12}{7} \le x \le 4$.

Теперь подставим выражение для y в первое уравнение системы:

$\sqrt{x - (2x - 4)} + \sqrt{x + 3(2x - 4)} = 4$

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{7x - 12} = 4$

Это иррациональное уравнение. Чтобы решить его, уединим один из корней и возведем обе части в квадрат:

$\sqrt{7x - 12} = 4 - \sqrt{4 - x}$

Возводим в квадрат:

$(\sqrt{7x - 12})^2 = (4 - \sqrt{4 - x})^2$

$7x - 12 = 16 - 8\sqrt{4 - x} + (4 - x)$

$7x - 12 = 20 - x - 8\sqrt{4 - x}$

Сгруппируем члены и уединим оставшийся корень:

$7x + x - 12 - 20 = -8\sqrt{4 - x}$

$8x - 32 = -8\sqrt{4 - x}$

Разделим обе части уравнения на 8:

$x - 4 = -\sqrt{4 - x}$

Чтобы решить это уравнение, возведем его в квадрат, предварительно заметив, что левая часть должна быть неположительной, так как правая часть неположительна. То есть $x - 4 \le 0 \implies x \le 4$, что соответствует нашей ОДЗ.

$(x - 4)^2 = (-\sqrt{4 - x})^2$

$x^2 - 8x + 16 = 4 - x$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1=3$ и $x_2=4$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \le 4$ и входят в ОДЗ $\frac{12}{7} \le x \le 4$.

Найдем соответствующие значения y:

1) Если $x = 3$, то $y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$. Получаем пару (3, 2).

2) Если $x = 4$, то $y = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$. Получаем пару (4, 4).

Проведем проверку найденных решений, подставив их в исходную систему.

Для (3, 2):

$\sqrt{3 - 2} + \sqrt{3 + 3(2)} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$ (верно).

$2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$ (верно).

Для (4, 4):

$\sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 + 3(4)} = \sqrt{0} + \sqrt{16} = 0 + 4 = 4$ (верно).

$2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$ (верно).

Оба решения подходят.

Ответ: (3, 2), (4, 4).

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6x + 2y = 10, \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x - 3y} = 2. \end{cases} $

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$3x + y = 5$

Отсюда выразим y:

$y = 5 - 3x$

Определим ОДЗ из второго уравнения:

$2x + y \ge 0$

$6x - 3y \ge 0$

Подставим выражение для y в неравенства ОДЗ:

1) $2x + (5 - 3x) \ge 0 \implies 5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.

2) $6x - 3(5 - 3x) \ge 0 \implies 6x - 15 + 9x \ge 0 \implies 15x - 15 \ge 0 \implies x \ge 1$.

ОДЗ для x: $1 \le x \le 5$.

Подставим $y = 5 - 3x$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{2x + (5 - 3x)} + \sqrt{6x - 3(5 - 3x)} = 2$

$\sqrt{5 - x} + \sqrt{6x - 15 + 9x} = 2$

$\sqrt{5 - x} + \sqrt{15x - 15} = 2$

Введем новые переменные: $a = \sqrt{5 - x}$ и $b = \sqrt{15x - 15}$. Учитывая, что корень арифметический, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Уравнение принимает вид $a + b = 2$.

Найдем связь между $a$ и $b$ через их квадраты:

$a^2 = 5 - x \implies x = 5 - a^2$

$b^2 = 15x - 15 = 15(x - 1)$

Подставим $x = 5 - a^2$ в выражение для $b^2$:

$b^2 = 15((5 - a^2) - 1) = 15(4 - a^2)$

Получаем систему для a и b:

$ \begin{cases} a + b = 2, \\ b^2 = 15(4 - a^2). \end{cases} $

Из первого уравнения $b = 2 - a$. Так как $b \ge 0$, то $2 - a \ge 0$, то есть $a \le 2$. С учетом $a \ge 0$, имеем $0 \le a \le 2$.

Подставим $b = 2 - a$ во второе уравнение:

$(2 - a)^2 = 15(4 - a^2)$

$4 - 4a + a^2 = 60 - 15a^2$

$16a^2 - 4a - 56 = 0$

Разделим на 4: $4a^2 - a - 14 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно a. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(4)(-14) = 1 + 224 = 225$.

$a = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{1 \pm 15}{8}$

Получаем два корня: $a_1 = \frac{1 + 15}{8} = 2$ и $a_2 = \frac{1 - 15}{8} = -\frac{7}{4}$.

Так как $a \ge 0$, корень $a_2 = -7/4$ является посторонним. Остается $a = 2$.

Вернемся к переменной x:

$\sqrt{5 - x} = 2$

$5 - x = 4 \implies x = 1$.

Это значение входит в ОДЗ $1 \le x \le 5$.

Найдем y: $y = 5 - 3x = 5 - 3(1) = 2$.

Проверим решение (1, 2) в исходной системе:

$6(1) + 2(2) = 6 + 4 = 10$ (верно).

$\sqrt{2(1) + 2} + \sqrt{6(1) - 3(2)} = \sqrt{4} + \sqrt{0} = 2 + 0 = 2$ (верно).

Решение единственное.

Ответ: (1, 2).