Номер 33.17, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.17, страница 211.

33.17. a) $\begin{cases} x - 2xy + y = -17, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + x^2 + y^2 = 18, \\ xy + x^2 + y^2 = 19. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2xy + y = -17 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Для её решения введем новые переменные (замена Виета): $S = x+y$ и $P = xy$.

Выразим уравнения системы через $S$ и $P$.

Первое уравнение: $x+y - 2xy = -17$, что в новых переменных записывается как $S - 2P = -17$.

Второе уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Используя тождество $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$, получаем $S^2 - 2P = 25$.

Теперь решаем систему уравнений относительно $S$ и $P$:

$$ \begin{cases} S - 2P = -17 \\ S^2 - 2P = 25 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $2P$: $2P = S + 17$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$S^2 - (S + 17) = 25$

$S^2 - S - 17 - 25 = 0$

$S^2 - S - 42 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $S$. Найдем его корни по теореме Виета. Корнями являются $S_1 = 7$ и $S_2 = -6$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $S = 7$.

Найдём $P$ из соотношения $2P = S + 17$: $2P = 7 + 17 = 24$, откуда $P = 12$.

Теперь нам нужно найти $x$ и $y$, зная их сумму и произведение:

$$ \begin{cases} x+y = 7 \\ xy = 12 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Следовательно, получаем две пары решений: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Случай 2: $S = -6$.

Найдём $P$ из соотношения $2P = S + 17$: $2P = -6 + 17 = 11$, откуда $P = \frac{11}{2}$.

Теперь решаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = -6 \\ xy = \frac{11}{2} \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - (-6)t + \frac{11}{2} = 0$

$t^2 + 6t + \frac{11}{2} = 0$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2t^2 + 12t + 11 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = 12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 144 - 88 = 56$.

Корни уравнения: $t = \frac{-12 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{14}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{14}}{2}$.

Следовательно, получаем еще две пары решений: $(\frac{-6 + \sqrt{14}}{2}, \frac{-6 - \sqrt{14}}{2})$ и $(\frac{-6 - \sqrt{14}}{2}, \frac{-6 + \sqrt{14}}{2})$.

Ответ: $(3, 4); (4, 3); (\frac{-6 + \sqrt{14}}{2}, \frac{-6 - \sqrt{14}}{2}); (\frac{-6 - \sqrt{14}}{2}, \frac{-6 + \sqrt{14}}{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y + x^2 + y^2 = 18 \\ xy + x^2 + y^2 = 19 \end{cases} $$

Эта система также является симметрической. Сделаем замену переменных: $S = x+y$ и $P = xy$.

Используем тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2P$.

Перепишем систему в новых переменных:

$$ \begin{cases} S + (S^2 - 2P) = 18 \\ P + (S^2 - 2P) = 19 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение: $S^2 - P = 19$.

Отсюда выразим $P$: $P = S^2 - 19$.

Подставим это выражение для $P$ в первое уравнение системы:

$S + S^2 - 2(S^2 - 19) = 18$

$S + S^2 - 2S^2 + 38 = 18$

$-S^2 + S + 20 = 0$

Умножим на -1: $S^2 - S - 20 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $S$. Его корни $S_1 = 5$ и $S_2 = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $S = 5$.

Найдем $P$ из соотношения $P = S^2 - 19$: $P = 5^2 - 19 = 25 - 19 = 6$.

Решаем систему для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $S = -4$.

Найдем $P$ из соотношения $P = S^2 - 19$: $P = (-4)^2 - 19 = 16 - 19 = -3$.

Решаем систему для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = -4 \\ xy = -3 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t - 3 = 0$, то есть $t^2 + 4t - 3 = 0$.

Решим это уравнение через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.

Корни уравнения: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$.

Получаем еще две пары решений: $(-2 + \sqrt{7}, -2 - \sqrt{7})$ и $(-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7})$.

Ответ: $(2, 3); (3, 2); (-2 + \sqrt{7}, -2 - \sqrt{7}); (-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7})$.