Номер 33.12, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.12, страница 210.

33.12. a) $\begin{cases} y + x^3 = 4, \\ 3y + y^2 + 2x^3 = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y^4 + x = 3, \\ 2x^2 - 5x + 3y^4 = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y + x^3 = 4, \\ 3y + y^2 + 2x^3 = 20; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменных. Пусть $u = x^3$ и $v = y$. Тогда система уравнений примет следующий вид:

$ \begin{cases} v + u = 4 \\ 3v + v^2 + 2u = 20 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $u$ через $v$:

$u = 4 - v$

Теперь подставим это выражение для $u$ во второе уравнение системы:

$3v + v^2 + 2(4 - v) = 20$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $v$:

$3v + v^2 + 8 - 2v = 20$

$v^2 + v + 8 - 20 = 0$

$v^2 + v - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-4$.

Итак, мы имеем два возможных значения для $v$: $v_1 = 3$ и $v_2 = -4$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы найти соответствующие значения $u$, а затем $x$ и $y$.

Случай 1: $v = 3$.

Так как $v = y$, то $y = 3$.

Найдем $u$ из соотношения $u = 4 - v$: $u = 4 - 3 = 1$.

Так как $u = x^3$, получаем $x^3 = 1$, откуда $x = 1$.

Первое решение системы: $(1; 3)$.

Случай 2: $v = -4$.

Так как $v = y$, то $y = -4$.

Найдем $u$ из соотношения $u = 4 - v$: $u = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8$.

Так как $u = x^3$, получаем $x^3 = 8$, откуда $x = 2$.

Второе решение системы: $(2; -4)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Для $(1; 3)$:
$y + x^3 = 3 + 1^3 = 4$.
$3y + y^2 + 2x^3 = 3(3) + 3^2 + 2(1^3) = 9 + 9 + 2 = 20$.
Оба уравнения верны.

Для $(2; -4)$:
$y + x^3 = -4 + 2^3 = -4 + 8 = 4$.
$3y + y^2 + 2x^3 = 3(-4) + (-4)^2 + 2(2^3) = -12 + 16 + 16 = 20$.
Оба уравнения верны.

Ответ: $(1; 3)$, $(2; -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y^4 + x = 3, \\ 2x^2 - 5x + 3y^4 = 1. \end{cases} $

Эта система также решается методом замены. Пусть $a = y^4$ и $b = x$. Перепишем систему с новыми переменными:

$ \begin{cases} a + b = 3 \\ 3a + 2b^2 - 5b = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$:

$a = 3 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(3 - b) + 2b^2 - 5b = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$9 - 3b + 2b^2 - 5b = 1$

$2b^2 - 8b + 9 - 1 = 0$

$2b^2 - 8b + 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$b^2 - 4b + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$(b - 2)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень: $b = 2$.

Теперь выполним обратную замену. Так как $b = x$, то $x = 2$.

Найдем значение $a$, используя $a = 3 - b$:

$a = 3 - 2 = 1$.

Так как $a = y^4$, получаем уравнение для $y$:

$y^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Таким образом, мы получили две пары решений $(x, y)$:

1. $(2; 1)$

2. $(2; -1)$

Выполним проверку найденных решений.

Для $(2; 1)$:
$y^4 + x = 1^4 + 2 = 1 + 2 = 3$.
$2x^2 - 5x + 3y^4 = 2(2^2) - 5(2) + 3(1^4) = 2(4) - 10 + 3 = 8 - 10 + 3 = 1$.
Оба уравнения верны.

Для $(2; -1)$:
$y^4 + x = (-1)^4 + 2 = 1 + 2 = 3$.
$2x^2 - 5x + 3y^4 = 2(2^2) - 5(2) + 3((-1)^4) = 2(4) - 10 + 3(1) = 8 - 10 + 3 = 1$.
Оба уравнения верны.

Ответ: $(2; 1)$, $(2; -1)$.