Номер 33.7, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.7, страница 210.

Решите графически систему уравнений:

33.7. a) $$\begin{cases} y + x = 3, \\ xy = 2; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} y = x(x - 4), \\ y + 8 = 2x. \end{cases}$$

a)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут решением системы.

Дана система:

$ \begin{cases} y + x = 3, \\ xy = 2; \end{cases} $

1. Преобразуем первое уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y + x = 3 \implies y = 3 - x$

Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

$x$	0	3
$y$	3	0

Таким образом, прямая проходит через точки $(0; 3)$ и $(3; 0)$.

2. Преобразуем второе уравнение, также выразив $y$ через $x$:

$xy = 2 \implies y = \frac{2}{x}$

Это уравнение обратной пропорциональности, ее график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5

3. Построим графики функций $y = 3 - x$ и $y = \frac{2}{x}$ в одной системе координат.

Из графика видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках. Определим их координаты: $A(1; 2)$ и $B(2; 1)$.

Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

б)

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x(x - 4), \\ y + 8 = 2x. \end{cases} $

1. Рассмотрим первое уравнение: $y = x(x - 4)$ или $y = x^2 - 4x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Вершина параболы находится в точке $(2; -4)$. Найдем еще несколько точек для построения. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции):

$x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4$.

Точки пересечения с Ox: $(0; 0)$ и $(4; 0)$. Составим таблицу значений:

$x$	0	1	2	3	4
$y$	0	-3	-4	-3	0

2. Преобразуем второе уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y + 8 = 2x \implies y = 2x - 8$

Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

$x$	2	4
$y$	-4	0

Таким образом, прямая проходит через точки $(2; -4)$ и $(4; 0)$.

3. Построим графики функций $y = x^2 - 4x$ и $y = 2x - 8$ в одной системе координат.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: $A(2; -4)$ и $B(4; 0)$.

Ответ: $(2; -4), (4; 0)$.