Номер 33.13, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.13, страница 210.

33.13. a) $\begin{cases} x^3 y^5 = 32, \\ x^5 y^3 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 2y)^3 (x - 2y)^2 = 9, \\ (x - 2y)^3 (x + 2y)^2 = -27. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3y^5 = 32 \\ x^5y^3 = 8 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Перемножим два уравнения системы:

$(x^3y^5) \cdot (x^5y^3) = 32 \cdot 8$

$x^{3+5}y^{5+3} = 256$

$x^8y^8 = 256$

$(xy)^8 = 2^8$

Из этого следует, что $xy = 2$ или $xy = -2$.

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{x^3y^5}{x^5y^3} = \frac{32}{8}$

$x^{3-5}y^{5-3} = 4$

$x^{-2}y^2 = 4$

$\frac{y^2}{x^2} = 4$

$(\frac{y}{x})^2 = 4$

Из этого следует, что $\frac{y}{x} = 2$ или $\frac{y}{x} = -2$, что эквивалентно $y = 2x$ или $y = -2x$.

Теперь необходимо рассмотреть четыре системы уравнений:

1. $\begin{cases} xy = 2 \\ y = 2x \end{cases}$
Подставляя $y$ из второго уравнения в первое, получаем: $x(2x) = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$. Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.
Если $x=1$, то $y=2(1)=2$. Получаем решение $(1, 2)$.
Если $x=-1$, то $y=2(-1)=-2$. Получаем решение $(-1, -2)$.

2. $\begin{cases} xy = 2 \\ y = -2x \end{cases}$
Подставляя $y$ из второго уравнения в первое, получаем: $x(-2x) = 2 \implies -2x^2 = 2 \implies x^2 = -1$. В действительных числах решений нет.

3. $\begin{cases} xy = -2 \\ y = 2x \end{cases}$
Подставляя $y$ из второго уравнения в первое, получаем: $x(2x) = -2 \implies 2x^2 = -2 \implies x^2 = -1$. В действительных числах решений нет.

4. $\begin{cases} xy = -2 \\ y = -2x \end{cases}$
Подставляя $y$ из второго уравнения в первое, получаем: $x(-2x) = -2 \implies -2x^2 = -2 \implies x^2 = 1$. Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.
Если $x=1$, то $y=-2(1)=-2$. Пара $(1, -2)$.
Если $x=-1$, то $y=-2(-1)=2$. Пара $(-1, 2)$.

Проверим найденные пары, подставив их в исходные уравнения. Решения $(1, 2)$ и $(-1, -2)$ из первого случая удовлетворяют системе:

Для $(1, 2)$: $1^3 \cdot 2^5 = 1 \cdot 32 = 32$ и $1^5 \cdot 2^3 = 1 \cdot 8 = 8$. Верно.

Для $(-1, -2)$: $(-1)^3 \cdot (-2)^5 = (-1)(-32) = 32$ и $(-1)^5 \cdot (-2)^3 = (-1)(-8) = 8$. Верно.

Пары $(1, -2)$ и $(-1, 2)$ из четвертого случая не удовлетворяют первому уравнению исходной системы:

Для $(1, -2)$: $1^3 \cdot (-2)^5 = 1 \cdot (-32) = -32 \neq 32$.

Таким образом, только две пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, -2)$.

---

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x+2y)^3(x-2y)^2 = 9 \\ (x-2y)^3(x+2y)^2 = -27 \end{cases} $$

Для упрощения системы введем новые переменные. Пусть $a = x+2y$ и $b = x-2y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a^3b^2 = 9 \\ b^3a^2 = -27 \end{cases} $$

Перемножим уравнения новой системы:

$(a^3b^2) \cdot (b^3a^2) = 9 \cdot (-27)$

$a^5b^5 = -243$

$(ab)^5 = (-3)^5$

Отсюда следует, что $ab = -3$.

Теперь разделим первое уравнение на второе:

$\frac{a^3b^2}{b^3a^2} = \frac{9}{-27}$

$\frac{a}{b} = -\frac{1}{3}$

Отсюда $a = -\frac{b}{3}$.

Теперь решим систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} ab = -3 \\ a = -b/3 \end{cases} $$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$(-\frac{b}{3}) \cdot b = -3$

$-\frac{b^2}{3} = -3$

$b^2 = 9$

Следовательно, $b = 3$ или $b = -3$.

Если $b = 3$, то $a = -3/3 = -1$. Проверим эту пару в системе для $a$ и $b$: $a^3b^2 = (-1)^3(3)^2 = -9 \neq 9$. Значит, эта пара не является решением.

Если $b = -3$, то $a = -(-3)/3 = 1$. Проверим эту пару: $a^3b^2 = (1)^3(-3)^2 = 9$ (верно) и $b^3a^2 = (-3)^3(1)^2 = -27$ (верно). Эта пара является решением.

Итак, мы нашли, что $a=1$ и $b=-3$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+2y = 1 \\ x-2y = -3 \end{cases} $$

Сложим два уравнения этой линейной системы:

$(x+2y) + (x-2y) = 1 + (-3)$

$2x = -2$

$x = -1$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$-1 + 2y = 1$

$2y = 2$

$y=1$

Решением системы является одна пара чисел.

Ответ: $(-1, 1)$.