Номер 33.15, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.15, страница 211.

33.15. a)

$\begin{cases} 2x^2 + xy - y^2 = 0, \\ y^2 - 3xy = 16; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 - xy = 10y^2, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + xy - y^2 = 0, \\ y^2 - 3xy = 16; \end{cases} $

Первое уравнение системы $2x^2 + xy - y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Разложим его левую часть на множители. Для этого решим его как квадратное уравнение относительно $x$ или $y$. Проще всего представить $xy$ как $2xy - xy$:

$2x^2 + 2xy - xy - y^2 = 0$

$2x(x+y) - y(x+y) = 0$

$(2x-y)(x+y) = 0$

Отсюда получаем два возможных случая:

1) $2x - y = 0 \implies y = 2x$

2) $x + y = 0 \implies y = -x$

Теперь подставим эти выражения для $y$ во второе уравнение системы $y^2 - 3xy = 16$.

Случай 1: $y = 2x$

Подставляем в $y^2 - 3xy = 16$:

$(2x)^2 - 3x(2x) = 16$

$4x^2 - 6x^2 = 16$

$-2x^2 = 16$

$x^2 = -8$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $y = -x$

Подставляем в $y^2 - 3xy = 16$:

$(-x)^2 - 3x(-x) = 16$

$x^2 + 3x^2 = 16$

$4x^2 = 16$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = -x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -(-2) = 2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2, -2), (-2, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - xy = 10y^2, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4. \end{cases} $

Преобразуем оба уравнения. Второе уравнение представляет собой формулу квадрата разности:

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$

Значит, $(x-y)^2 = 4$, откуда следует, что $x-y = 2$ или $x-y = -2$.

Первое уравнение системы $3x^2 - xy - 10y^2 = 0$ является однородным. Заметим, что $y \neq 0$, так как если $y=0$, то из первого уравнения $3x^2=0 \implies x=0$. Но пара $(0,0)$ не удовлетворяет второму уравнению ($0 \neq 4$). Поэтому мы можем разделить первое уравнение на $y^2$:

$3\left(\frac{x}{y}\right)^2 - \frac{x}{y} - 10 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$ и решим полученное квадратное уравнение $3t^2 - t - 10 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(3)(-10) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

$t = \frac{1 \pm 11}{6}$

$t_1 = \frac{1+11}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{1-11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Возвращаясь к замене, получаем два соотношения между $x$ и $y$:

1) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$

2) $\frac{x}{y} = -\frac{5}{3} \implies x = -\frac{5}{3}y$

Теперь рассмотрим четыре случая, комбинируя полученные соотношения.

Случай 1: $x = 2y$ и $x - y = 2$

Подставим $x=2y$ в $x-y=2$: $2y - y = 2 \implies y = 2$. Тогда $x = 2y = 4$. Получаем решение $(4, 2)$.

Случай 2: $x = 2y$ и $x - y = -2$

Подставим $x=2y$ в $x-y=-2$: $2y - y = -2 \implies y = -2$. Тогда $x = 2y = -4$. Получаем решение $(-4, -2)$.

Случай 3: $x = -\frac{5}{3}y$ и $x - y = 2$

Подставим $x = -\frac{5}{3}y$ в $x-y=2$: $-\frac{5}{3}y - y = 2 \implies -\frac{8}{3}y = 2 \implies y = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Тогда $x = -\frac{5}{3}y = -\frac{5}{3}(-\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}$. Получаем решение $(\frac{5}{4}, -\frac{3}{4})$.

Случай 4: $x = -\frac{5}{3}y$ и $x - y = -2$

Подставим $x = -\frac{5}{3}y$ в $x-y=-2$: $-\frac{5}{3}y - y = -2 \implies -\frac{8}{3}y = -2 \implies y = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Тогда $x = -\frac{5}{3}y = -\frac{5}{3}(\frac{3}{4}) = -\frac{5}{4}$. Получаем решение $(-\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$.

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: $(4, 2), (-4, -2), (\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}), (-\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$.