Номер 33.10, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.10, страница 210.

Решите систему уравнений:

33.10. а) $ \begin{cases} (2x + y)(x + 3y) = 48, \\ \frac{2x + y}{x + 3y} = \frac{3}{4}; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = 4, \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 17. \end{cases} $

а)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} (2x + y)(x + 3y) = 48, \\ \frac{2x + y}{x + 3y} = \frac{3}{4} \end{cases} $

Этот тип систем удобно решать методом введения новых переменных. Обозначим $u = 2x + y$ и $v = x + 3y$. При этом, из второго уравнения следует, что знаменатель $x+3y \ne 0$, а значит $v \ne 0$.

После замены система примет вид:

$ \begin{cases} u \cdot v = 48, \\ \frac{u}{v} = \frac{3}{4} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $u$ через $v$: $u = \frac{3}{4}v$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\left(\frac{3}{4}v\right) \cdot v = 48$

$\frac{3}{4}v^2 = 48$

$v^2 = 48 \cdot \frac{4}{3} = 16 \cdot 4 = 64$

Отсюда находим два возможных значения для $v$: $v_1 = 8$ и $v_2 = -8$.

Для каждого значения $v$ найдем соответствующее значение $u$:

1. Если $v_1 = 8$, то $u_1 = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$.

2. Если $v_2 = -8$, то $u_2 = \frac{3}{4} \cdot (-8) = -6$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$, решив две системы линейных уравнений.

Случай 1: $u=6$ и $v=8$.

$ \begin{cases} 2x + y = 6, \\ x + 3y = 8 \end{cases} $

Из первого уравнения выражаем $y = 6 - 2x$ и подставляем во второе:

$x + 3(6 - 2x) = 8$

$x + 18 - 6x = 8$

$-5x = -10$

$x = 2$

Находим $y$: $y = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$.

Первое решение: $(2, 2)$.

Случай 2: $u=-6$ и $v=-8$.

$ \begin{cases} 2x + y = -6, \\ x + 3y = -8 \end{cases} $

Из первого уравнения выражаем $y = -6 - 2x$ и подставляем во второе:

$x + 3(-6 - 2x) = -8$

$x - 18 - 6x = -8$

$-5x = 10$

$x = -2$

Находим $y$: $y = -6 - 2(-2) = -6 + 4 = -2$.

Второе решение: $(-2, -2)$.

Ответ: $(2, 2)$; $(-2, -2)$.

б)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = 4, \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 17 \end{cases} $

Здесь также удобно применить метод введения новых переменных. Пусть $a = x - 3$ и $b = y + 2$. Из первого уравнения следует, что $y+2 \ne 0$, то есть $b \ne 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} \frac{a}{b} = 4, \\ a^2 + b^2 = 17 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 4b$.

Подставим это во второе уравнение:

$(4b)^2 + b^2 = 17$

$16b^2 + b^2 = 17$

$17b^2 = 17$

$b^2 = 1$

Возможные значения для $b$: $b_1 = 1$ и $b_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $a$:

1. Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$.

2. Если $b_2 = -1$, то $a_2 = 4 \cdot (-1) = -4$.

Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.

Случай 1: $a=4$ и $b=1$.

$ \begin{cases} x - 3 = 4 \\ y + 2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 7 \\ y = -1 \end{cases} $

Первое решение: $(7, -1)$.

Случай 2: $a=-4$ и $b=-1$.

$ \begin{cases} x - 3 = -4 \\ y + 2 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ y = -3 \end{cases} $

Второе решение: $(-1, -3)$.

Ответ: $(7, -1)$; $(-1, -3)$.