Номер 33.8, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.8, страница 210.

33.8. a) $$\begin{cases} y \cdot 2^{x+1} = 1, \\ \sqrt[3]{x+2} = y; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} y = 2^{x-1}, \\ |x-3| = y+1. \end{cases}$$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l} y \cdot 2^{x+1} = 1, \\ \sqrt[3]{x+2} = y \end{array}\right.$

Для решения системы подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое. Получим:

$(\sqrt[3]{x+2}) \cdot 2^{x+1} = 1$

Это уравнение можно переписать в виде $\sqrt[3]{x+2} = \frac{1}{2^{x+1}}$, что эквивалентно $\sqrt[3]{x+2} = 2^{-(x+1)}$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения. Функция $f(x) = \sqrt[3]{x+2}$ является строго возрастающей на всей своей области определения (все действительные числа). Функция $g(x) = 2^{-(x+1)}$ является строго убывающей, так как основание степени $2 > 1$, а показатель является убывающей линейной функцией от $x$.

Уравнение, в котором строго возрастающая функция равна строго убывающей, может иметь не более одного решения.

Попробуем найти это решение методом подбора, проверяя целые значения $x$.

При $x = -1$:

Левая часть: $\sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Правая часть: $2^{-(-1+1)} = 2^{0} = 1$.

Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), $x=-1$ является единственным решением уравнения.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=-1$ во второе уравнение системы:

$y = \sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Проверим найденную пару $(-1, 1)$ по первому уравнению: $1 \cdot 2^{-1+1} = 1 \cdot 2^0 = 1$. Равенство верно.

Ответ: $(-1, 1)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l} y = 2^{x-1}, \\ |x-3| = y+1 \end{array}\right.$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$|x-3| = 2^{x-1} + 1$

Для решения уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x-3| = x-3$. Уравнение принимает вид:

$x-3 = 2^{x-1} + 1$

$x-4 = 2^{x-1}$

Рассмотрим функции $f(x) = x-4$ (линейная) и $g(x) = 2^{x-1}$ (показательная). При $x=3$ имеем $f(3) = -1$ и $g(3) = 2^{2} = 4$. Так как показательная функция растет гораздо быстрее линейной, а при $x=3$ значение $g(x)$ уже больше значения $f(x)$, то при $x > 3$ разрыв между ними будет только увеличиваться. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x-3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Уравнение принимает вид:

$3-x = 2^{x-1} + 1$

$2-x = 2^{x-1}$

Функция в левой части $f(x) = 2-x$ является строго убывающей. Функция в правой части $g(x) = 2^{x-1}$ является строго возрастающей. Следовательно, это уравнение может иметь не более одного решения.

Найдем решение подбором. Проверим $x=1$:

Левая часть: $2-1=1$.

Правая часть: $2^{1-1} = 2^0 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), $x=1$ является единственным решением. Это значение удовлетворяет условию $x < 3$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$ из первого уравнения системы:

$y = 2^{1-1} = 2^0 = 1$.

Проверим найденную пару $(1, 1)$ по второму уравнению: $|1-3| = 1+1 \implies |-2|=2 \implies 2=2$. Равенство верно.

Ответ: $(1, 1)$.