Номер 33.4, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.4, страница 209.

33.4. a) $$\begin{cases} \log_2 x - \log_3 y = -5, \\ 2 \log_2 x + 3 \log_3 y = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \cos x + \cos 2y = -0,5, \\ 3 \cos 2y - \cos x = 2,5; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 2^{x+2y} - \sqrt{2x + y} = 6, \\ 3\sqrt{2x + y} - 2^{x+2y} = -2; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 2 \sin 2x + \operatorname{tg} 3y = 2, \\ 6 \sin 2x - 2 \operatorname{tg} 3y = 1. \end{cases}$$

а)
Дана система уравнений:$$ \begin{cases} \log_2 x - \log_3 y = -5, \\ 2 \log_2 x + 3 \log_3 y = 0; \end{cases} $$Введем замену переменных. Пусть $u = \log_2 x$ и $v = \log_3 y$. Система примет вид:$$ \begin{cases} u - v = -5, \\ 2u + 3v = 0. \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $u$: $u = v - 5$.
Подставим это выражение во второе уравнение:$2(v - 5) + 3v = 0$
$2v - 10 + 3v = 0$
$5v = 10$
$v = 2$
Теперь найдем $u$:$u = 2 - 5 = -3$
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
Из $u = \log_2 x = -3$ следует, что $x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Из $v = \log_3 y = 2$ следует, что $y = 3^2 = 9$.
Область допустимых значений для логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$. Найденные значения $x = 1/8$ и $y = 9$ удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $(\frac{1}{8}; 9)$.

б)
Дана система уравнений:$$ \begin{cases} \cos x + \cos 2y = -0,5, \\ 3 \cos 2y - \cos x = 2,5. \end{cases} $$Введем замену переменных. Пусть $a = \cos x$ и $b = \cos 2y$. Система примет вид:$$ \begin{cases} a + b = -0,5, \\ 3b - a = 2,5. \end{cases} $$Сложим два уравнения системы:$(a + b) + (3b - a) = -0,5 + 2,5$
$4b = 2$
$b = 0,5$
Подставим найденное значение $b$ в первое уравнение:$a + 0,5 = -0,5$
$a = -1$
Вернемся к исходным переменным:
$\cos x = a = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\cos 2y = b = 0,5 \implies 2y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив второе уравнение на 2, получим $y$:$y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

в)
Дана система уравнений:$$ \begin{cases} 2^{x+2y} - \sqrt{2x+y} = 6, \\ 3\sqrt{2x+y} - 2^{x+2y} = -2. \end{cases} $$Введем замену переменных. Пусть $a = 2^{x+2y}$ и $b = \sqrt{2x+y}$. Заметим, что по определению корня $b \ge 0$. Система примет вид:$$ \begin{cases} a - b = 6, \\ 3b - a = -2. \end{cases} $$Сложим два уравнения системы:$(a - b) + (3b - a) = 6 - 2$
$2b = 4$
$b = 2$
Подставим значение $b$ в первое уравнение:$a - 2 = 6$
$a = 8$
Вернемся к исходным переменным:
$\sqrt{2x+y} = b = 2$. Возведя в квадрат, получаем $2x+y = 4$.
$2^{x+2y} = a = 8$. Так как $8=2^3$, то $x+2y = 3$.
Теперь решим полученную систему линейных уравнений:$$ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x + 2y = 3. \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4 - 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:$x + 2(4 - 2x) = 3$
$x + 8 - 4x = 3$
$-3x = -5$
$x = \frac{5}{3}$
Найдем $y$:$y = 4 - 2 \cdot \frac{5}{3} = 4 - \frac{10}{3} = \frac{12-10}{3} = \frac{2}{3}$.
Проверим условие $2x+y \ge 0$: $2(\frac{5}{3}) + \frac{2}{3} = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4 \ge 0$. Условие выполнено.
Ответ: $(\frac{5}{3}; \frac{2}{3})$.

г)
Дана система уравнений:$$ \begin{cases} 2 \sin 2x + \tg 3y = 2, \\ 6 \sin 2x - 2 \tg 3y = 1. \end{cases} $$Введем замену переменных. Пусть $a = \sin 2x$ и $b = \tg 3y$. Система примет вид:$$ \begin{cases} 2a + b = 2, \\ 6a - 2b = 1. \end{cases} $$Умножим первое уравнение на 2, чтобы при сложении убрать переменную $b$:$4a + 2b = 4$
Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:$(4a + 2b) + (6a - 2b) = 4 + 1$
$10a = 5$
$a = 0,5$
Подставим значение $a$ в первое уравнение $2a+b=2$:$2(0,5) + b = 2$
$1 + b = 2$
$b = 1$
Вернемся к исходным переменным:
$\sin 2x = a = 0,5 \implies 2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\tg 3y = b = 1 \implies 3y = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$y = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Область определения тангенса $3y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$. Наши решения $3y = \frac{\pi}{4} + \pi n$ не совпадают с ограничениями, поэтому они являются верными.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, y = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.