Номер 32.40, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.40, страница 208.

32.40. Случайным образом выбирают одно из решений системы

неравенств $ \begin{cases} |x - y| \le 2, \\ |x + y| \le 2. \end{cases} $ Найдите вероятность того, что

выбранная точка расположена:

а) ниже прямой $y = 1$;

б) выше прямой $y = 0,5$;

в) правее прямой $x = 1$;

г) выше параболы $y = x^2$.

В данной задаче используется понятие геометрической вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению площади благоприятной области к общей площади. Область, из которой выбирается точка, задана системой неравенств $\begin{cases} |x - y| \le 2 \\ |x + y| \le 2 \end{cases}$. Эта система эквивалентна $\begin{cases} -2 \le x - y \le 2 \\ -2 \le x + y \le 2 \end{cases}$. Данные неравенства определяют на координатной плоскости квадрат, ограниченный прямыми $y = x \pm 2$ и $y = -x \pm 2$. Вершины этого квадрата находятся в точках (2, 0), (0, 2), (-2, 0) и (0, -2). Диагонали квадрата лежат на осях координат, их длина равна 4. Общая площадь области $S_{total}$ равна половине произведения диагоналей: $S_{total} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

а) ниже прямой y = 1
Необходимо найти вероятность того, что для случайно выбранной точки $(x, y)$ выполняется условие $y < 1$. Для этого найдем площадь $S_a$ той части квадрата, которая лежит ниже прямой $y=1$. Проще вычислить площадь части квадрата, лежащей выше или на прямой $y=1$, и вычесть ее из общей площади. Эта область представляет собой треугольник, ограниченный прямыми $y=1$, $y=-x+2$ и $y=x+2$. Вершины этого треугольника — (0, 2), (1, 1) и (-1, 1). Основание треугольника равно $1 - (-1) = 2$, а высота — $2 - 1 = 1$. Площадь этого треугольника (неблагоприятная область) составляет $S_{небл} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Тогда искомая благоприятная площадь $S_a = S_{total} - S_{небл} = 8 - 1 = 7$. Вероятность данного события равна $P_a = \frac{S_a}{S_{total}} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$

б) выше прямой y = 0,5
Необходимо найти вероятность того, что для точки выполняется условие $y > 0,5$. Для этого найдем площадь области, где $y \le 0,5$, и вычтем ее из общей площади. Эта область (неблагоприятная) состоит из двух частей: треугольника с вершинами (0, -2), (2, 0), (-2, 0), площадь которого $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$, и трапеции, расположенной между прямыми $y=0$ и $y=0,5$. Вершины этой трапеции — (-2, 0), (2, 0), (1.5, 0.5) и (-1.5, 0.5). Ее основания равны 4 и $1,5 - (-1,5) = 3$, а высота равна 0,5. Площадь трапеции $S_2 = \frac{1}{2}(4+3) \cdot 0,5 = \frac{7}{4} = 1,75$. Общая неблагоприятная площадь $S_{небл} = S_1 + S_2 = 4 + 1,75 = 5,75$. Благоприятная площадь $S_b = S_{total} - S_{небл} = 8 - 5,75 = 2,25 = \frac{9}{4}$. Вероятность события равна $P_b = \frac{S_b}{S_{total}} = \frac{2,25}{8} = \frac{9/4}{8} = \frac{9}{32}$.
Ответ: $\frac{9}{32}$

в) правее прямой x = 1
Необходимо найти вероятность того, что для точки выполняется условие $x > 1$. Благоприятная область — это часть квадрата, лежащая правее прямой $x=1$. Эта область является треугольником, ограниченным прямыми $x=1$, $y=-x+2$ и $y=x-2$. Вершины этого треугольника — (1, 1), (1, -1) и (2, 0). Основание треугольника лежит на прямой $x=1$ и имеет длину $1 - (-1) = 2$. Высота треугольника равна $2 - 1 = 1$. Площадь этой благоприятной области $S_c = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Вероятность события равна $P_c = \frac{S_c}{S_{total}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

г) выше параболы y = x²
Необходимо найти вероятность того, что для точки выполняется условие $y > x^2$. Благоприятная область $S_d$ ограничена снизу параболой $y=x^2$, а сверху — сторонами квадрата $y=x+2$ (при $x \le 0$) и $y=-x+2$ (при $x \ge 0$). Найдем точки пересечения параболы с границами квадрата: $y=x^2$ и $y=-x+2 \implies x^2+x-2=0 \implies x=1$ (так как $x>0$); $y=x^2$ и $y=x+2 \implies x^2-x-2=0 \implies x=-1$ (так как $x<0$). Точки пересечения: (1, 1) и (-1, 1). Площадь $S_d$ найдем с помощью интеграла. В силу симметрии относительно оси OY, можно вычислить интеграл от 0 до 1 и удвоить результат:$S_d = 2 \int_{0}^{1} ((-x+2) - x^2) dx = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_0^1 = 2 \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - 0 \right) = 2 \left( \frac{-2 - 3 + 12}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.Вероятность события равна $P_d = \frac{S_d}{S_{total}} = \frac{7/3}{8} = \frac{7}{24}$.
Ответ: $\frac{7}{24}$