Номер 32.34, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.34, страница 207.

32.34. а) $xy \le 2$;

б) $y < \frac{2}{|x|}$;

в) $|x| \cdot y < 2$;

г) $|x| < \frac{2}{y}$.

а) Для решения неравенства $xy \le 2$ рассмотрим соответствующее уравнение $xy = 2$, которое задает гиперболу $y = \frac{2}{x}$ с ветвями в I и III координатных четвертях. Решение неравенства зависит от знака $x$.
1. Если $x > 0$, неравенство можно переписать в виде $y \le \frac{2}{x}$. Это область, расположенная ниже и на ветви гиперболы в I четверти.
2. Если $x < 0$, при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge \frac{2}{x}$. Это область, расположенная выше и на ветви гиперболы в III четверти.
3. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \le 2$, что является верным для любого значения $y$. Следовательно, вся ось ординат ($x=0$) также является частью решения.
Объединяя все случаи, получаем итоговое множество точек.

Ответ: Множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости, удовлетворяющее условиям: $y \le \frac{2}{x}$ при $x > 0$, $y \ge \frac{2}{x}$ при $x < 0$, а также все точки оси ординат ($x=0$).

б) Рассмотрим неравенство $y < \frac{2}{|x|}$.
Прежде всего, заметим, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Это означает, что ось ординат ($x=0$) не входит в область решения.
Границей искомой области является график функции $y = \frac{2}{|x|}$. Раскроем модуль:
- При $x > 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \frac{2}{x}$ (ветвь гиперболы в I четверти).
- При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$ (ветвь гиперболы во II четверти).
График функции $y = \frac{2}{|x|}$ симметричен относительно оси $Oy$.
Неравенство $y < \frac{2}{|x|}$ является строгим, поэтому точки на самой границе в решение не входят. Решением является множество всех точек плоскости, расположенных строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$ координатной плоскости, лежащих строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$. Ось $Oy$ ($x=0$) в решение не входит.

в) Решим неравенство $|x| \cdot y < 2$.
Разобьем решение на два случая в зависимости от значения $x$.
1. Если $x = 0$, то $|x|=0$. Неравенство превращается в $0 \cdot y < 2$, или $0 < 2$. Это утверждение верно для любого действительного значения $y$. Таким образом, вся ось ординат ($x=0$) является частью решения.
2. Если $x \ne 0$, то $|x| > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|x|$, сохранив знак неравенства: $y < \frac{2}{|x|}$. Решением в этом случае является область, лежащая строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$ (как в пункте б).
Итоговое решение является объединением множеств, полученных в этих двух случаях.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, лежащих строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$, а также все точки оси ординат ($x=0$).

г) Рассмотрим неравенство $|x| < \frac{2}{y}$.
Из вида неравенства следует два ограничения. Во-первых, знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $y \ne 0$. Во-вторых, левая часть неравенства $|x|$ всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$). Следовательно, для выполнения строгого неравенства правая часть $\frac{2}{y}$ должна быть строго положительной: $\frac{2}{y} > 0$, что выполняется только при $y > 0$.
Таким образом, мы ищем решения только в верхней полуплоскости ($y > 0$).
Поскольку $y > 0$, мы можем умножить обе части исходного неравенства на $y$, не меняя знака неравенства: $|x| \cdot y < 2$.
Итак, задача сводится к нахождению множества точек, удовлетворяющих системе неравенств: $ \begin{cases} |x| \cdot y < 2 \\ y > 0 \end{cases} $
Решение неравенства $|x| \cdot y < 2$ было найдено в пункте в): это область $y < \frac{2}{|x|}$ при $x \ne 0$ и вся ось $Oy$ при $x=0$.
Теперь необходимо пересечь это множество с условием $y > 0$:
- Для $x \ne 0$: из $y < \frac{2}{|x|}$ и $y > 0$ получаем $0 < y < \frac{2}{|x|}$.
- Для $x = 0$ (ось $Oy$): из $y > 0$ получаем положительную полуось $Oy$.
Объединяя эти результаты, получаем область, заключенную строго между осью $Ox$ и графиком функции $y = \frac{2}{|x|}$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых выполняется двойное неравенство $0 < y < \frac{2}{|x|}$ при $x \ne 0$, а также все точки положительной полуоси $Oy$ ($x=0, y>0$). Это область, заключенная строго между осью абсцисс и графиком функции $y = \frac{2}{|x|}$.