Номер 32.27, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.27, страница 206.

32.27. Не производя построений, докажите, что точки $A(-1; 2)$ и $B(2; 3)$ лежат по одну сторону от прямой $13x + 7y + 6 = 0$, а точки $A$ и $C(-13; -11)$ — по разные.

Для того чтобы определить, лежат ли точки по одну или по разные стороны от прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, необходимо подставить координаты этих точек в левую часть уравнения, то есть в выражение $L(x, y) = Ax + By + C$. Если знаки полученных значений для двух точек одинаковы, то точки лежат по одну сторону от прямой. Если знаки разные, то точки лежат по разные стороны.

Уравнение прямой в задаче: $13x + 7y + 6 = 0$.

Точки А(-1; 2) и В(2; 3) лежат по одну сторону от прямой

Чтобы доказать это утверждение, подставим координаты точек A и B в левую часть уравнения прямой $13x + 7y + 6$.

Для точки $A(-1; 2)$:

$13 \cdot (-1) + 7 \cdot 2 + 6 = -13 + 14 + 6 = 7$

Для точки $B(2; 3)$:

$13 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + 6 = 26 + 21 + 6 = 53$

Значения, полученные для точек A и B, равны $7$ и $53$. Оба числа положительные, следовательно, их знаки совпадают. Это доказывает, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой $13x + 7y + 6 = 0$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при подстановке координат точек A и B в левую часть уравнения прямой получаются числа одного знака ($7 > 0$ и $53 > 0$).

Точки А(-1; 2) и С(-13; -11) лежат по разные стороны от прямой

Чтобы доказать это утверждение, подставим координаты точек A и C в левую часть уравнения прямой $13x + 7y + 6$.

Для точки $A(-1; 2)$ значение уже вычислено:

$13 \cdot (-1) + 7 \cdot 2 + 6 = 7$

Для точки $C(-13; -11)$:

$13 \cdot (-13) + 7 \cdot (-11) + 6 = -169 - 77 + 6 = -240$

Значение для точки A ($7$) является положительным, а для точки C ($-240$) — отрицательным. Так как знаки не совпадают, это доказывает, что точки A и C лежат по разные стороны от прямой $13x + 7y + 6 = 0$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при подстановке координат точек A и C в левую часть уравнения прямой получаются числа разных знаков ($7 > 0$ и $-240 < 0$).