Номер 32.28, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.28, страница 206.

32.28. При каких значениях параметра $c$ точки $A(-1; 7)$ и $B(2; 11)$ лежат:

а) по одну сторону относительно прямой $3x + cy = 5$;

б) по разные стороны относительно прямой $5x - 4y = c$?

а)

Две точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ лежат по одну сторону от прямой, заданной общим уравнением $ax + by + d = 0$, если при подстановке их координат в выражение $ax + by + d$ получаются значения одного знака. То есть, их произведение должно быть положительным.

Запишем уравнение прямой из условия в виде $3x + cy - 5 = 0$.
Обозначим левую часть уравнения как $F(x, y) = 3x + cy - 5$.

Вычислим значение этого выражения для точки $A(-1; 7)$:
$F(A) = 3(-1) + c \cdot 7 - 5 = -3 + 7c - 5 = 7c - 8$.

Вычислим значение этого выражения для точки $B(2; 11)$:
$F(B) = 3(2) + c \cdot 11 - 5 = 6 + 11c - 5 = 11c + 1$.

Условие, что точки лежат по одну сторону от прямой, записывается как неравенство:
$F(A) \cdot F(B) > 0$
$(7c - 8)(11c + 1) > 0$.

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(7c - 8)(11c + 1) = 0$:
$7c - 8 = 0 \implies c_1 = \frac{8}{7}$
$11c + 1 = 0 \implies c_2 = -\frac{1}{11}$

Графиком функции $y = (7c - 8)(11c + 1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $c^2$ равен $77 > 0$). Следовательно, выражение положительно при значениях $c$, лежащих вне интервала между корнями.
Таким образом, $c < -\frac{1}{11}$ или $c > \frac{8}{7}$.

Ответ: $c \in (-\infty; -1/11) \cup (8/7; +\infty)$.

б)

Две точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ лежат по разные стороны от прямой $ax + by + d = 0$, если при подстановке их координат в выражение $ax + by + d$ получаются значения разных знаков. То есть, их произведение должно быть отрицательным.

Запишем уравнение прямой из условия в виде $5x - 4y - c = 0$.
Обозначим левую часть уравнения как $G(x, y) = 5x - 4y - c$.

Вычислим значение этого выражения для точки $A(-1; 7)$:
$G(A) = 5(-1) - 4 \cdot 7 - c = -5 - 28 - c = -33 - c$.

Вычислим значение этого выражения для точки $B(2; 11)$:
$G(B) = 5(2) - 4 \cdot 11 - c = 10 - 44 - c = -34 - c$.

Условие, что точки лежат по разные стороны от прямой, записывается как неравенство:
$G(A) \cdot G(B) < 0$
$(-33 - c)(-34 - c) < 0$
$(c + 33)(c + 34) < 0$.

Решим это квадратное неравенство. Корнями уравнения $(c + 33)(c + 34) = 0$ являются $c_1 = -33$ и $c_2 = -34$.

Графиком функции $y = (c + 33)(c + 34)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $c^2$ равен $1 > 0$). Следовательно, выражение отрицательно при значениях $c$, лежащих между корнями.
Таким образом, $-34 < c < -33$.

Ответ: $c \in (-34; -33)$.