Номер 32.22, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.22, страница 205.

32.22. а) $x + 2y^2 = 7$;

б) $x^2 + 2y = 1$;

В) $5x^2 + y = 17$;

Г) $7x - 3y^2 = 1$.

а) Решим уравнение $x + 2y^2 = 7$ в целых числах. Выразим переменную $x$ через $y$:$
$x = 7 - 2y^2$
По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Если $y$ — любое целое число, то $y^2$ — целое неотрицательное число, и $2y^2$ — также целое неотрицательное число. Следовательно, $x = 7 - 2y^2$ всегда будет целым числом для любого целого $y$.
Это означает, что уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений. Общий вид этих решений можно записать, положив $y = k$, где $k$ — любое целое число. Тогда $x = 7 - 2k^2$.
Примеры решений:
При $k=0$, $y=0$, $x=7$. Пара $(7, 0)$.
При $k=1$, $y=1$, $x=5$. Пара $(5, 1)$.
При $k=-1$, $y=-1$, $x=5$. Пара $(5, -1)$.
При $k=2$, $y=2$, $x=-1$. Пара $(-1, 2)$.
Ответ: $(7 - 2k^2, k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $x^2 + 2y = 1$ в целых числах. Выразим переменную $y$ через $x$:$
$2y = 1 - x^2$
$y = \frac{1 - x^2}{2}$
Для того чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы числитель $1 - x^2$ был чётным числом, то есть делился на 2. Это возможно только в том случае, если $x^2$ является нечётным числом. Квадрат целого числа, $x^2$, является нечётным тогда и только тогда, когда само число $x$ является нечётным.
Таким образом, $x$ может быть любым нечётным целым числом. Любое нечётное число можно представить в виде $x = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число.
Подставим это выражение для $x$ в формулу для $y$:$
$y = \frac{1 - (2k + 1)^2}{2} = \frac{1 - (4k^2 + 4k + 1)}{2} = \frac{-4k^2 - 4k}{2} = -2k^2 - 2k = -2k(k+1)$.
Это выражение всегда даёт целое значение $y$ для любого целого $k$.
Примеры решений:
При $k=0$, $x=1$, $y=0$. Пара $(1, 0)$.
При $k=1$, $x=3$, $y=-4$. Пара $(3, -4)$.
При $k=-1$, $x=-1$, $y=0$. Пара $(-1, 0)$.
Ответ: $(2k + 1, -2k(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $5x^2 + y = 17$ в целых числах. Выразим переменную $y$ через $x$:$
$y = 17 - 5x^2$
По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Если $x$ — любое целое число, то $x^2$ — целое неотрицательное число, и $5x^2$ — также целое неотрицательное число. Следовательно, $y = 17 - 5x^2$ всегда будет целым числом для любого целого $x$.
Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений. Общий вид этих решений можно записать, положив $x = k$, где $k$ — любое целое число. Тогда $y = 17 - 5k^2$.
Примеры решений:
При $k=0$, $x=0$, $y=17$. Пара $(0, 17)$.
При $k=1$, $x=1$, $y=12$. Пара $(1, 12)$.
При $k=-1$, $x=-1$, $y=12$. Пара $(-1, 12)$.
При $k=2$, $x=2$, $y=-3$. Пара $(2, -3)$.
Ответ: $(k, 17 - 5k^2)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $7x - 3y^2 = 1$ в целых числах. Выразим переменную $x$ через $y$:$
$7x = 1 + 3y^2$
$x = \frac{1 + 3y^2}{7}$
Для того чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы выражение $1 + 3y^2$ делилось нацело на 7. Это условие можно записать в виде сравнения по модулю 7:
$1 + 3y^2 \equiv 0 \pmod{7}$
$3y^2 \equiv -1 \pmod{7}$
$3y^2 \equiv 6 \pmod{7}$
Поскольку 3 и 7 взаимно простые числа, мы можем разделить обе части сравнения на 3:
$y^2 \equiv 2 \pmod{7}$
Теперь проверим, какие остатки при делении на 7 может давать квадрат целого числа $y$.
$0^2 \equiv 0 \pmod{7}$
$1^2 \equiv 1 \pmod{7}$
$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$
$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$
$4^2 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
$5^2 = 25 \equiv 4 \pmod{7}$
$6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$
Сравнение $y^2 \equiv 2 \pmod{7}$ выполняется, если $y$ при делении на 7 даёт остаток 3 или 4. То есть, $y \equiv 3 \pmod{7}$ или $y \equiv 4 \pmod{7}$.
Это означает, что $y$ можно представить в виде $y = 7k + 3$ или $y = 7k + 4$ для любого целого $k$.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $y = 7k + 3$, подставим в выражение для $x$:$
$x = \frac{1 + 3(7k + 3)^2}{7} = \frac{1 + 3(49k^2 + 42k + 9)}{7} = \frac{1 + 147k^2 + 126k + 27}{7} = \frac{147k^2 + 126k + 28}{7} = 21k^2 + 18k + 4$.
Для любого целого $k$ значение $x$ будет целым. Первая серия решений: $(21k^2 + 18k + 4, 7k + 3)$.
2. Если $y = 7k + 4$, подставим в выражение для $x$:$
$x = \frac{1 + 3(7k + 4)^2}{7} = \frac{1 + 3(49k^2 + 56k + 16)}{7} = \frac{1 + 147k^2 + 168k + 48}{7} = \frac{147k^2 + 168k + 49}{7} = 21k^2 + 24k + 7$.
Для любого целого $k$ значение $x$ будет целым. Вторая серия решений: $(21k^2 + 24k + 7, 7k + 4)$.
Ответ: Уравнение имеет две серии целочисленных решений: $(21k^2 + 18k + 4, 7k + 3)$ и $(21k^2 + 24k + 7, 7k + 4)$, где $k \in \mathbb{Z}$.