Номер 32.25, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.25, страница 206.

32.25. а) $x + 2y \le 3$;

б) $x - y > -4$;

В) $3x + 2y \ge -5$;

Г) $x - 3y < 4$.

Для решения каждого из данных линейных неравенств с двумя переменными необходимо изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соответствующему неравенству. Это множество представляет собой полуплоскость.

а) $x + 2y \le 3$

1. Сначала построим граничную прямую, уравнение которой получается заменой знака неравенства на знак равенства: $x + 2y = 3$.

2. Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей. Удобно найти точки пересечения с осями координат:
- Если $x=0$, то $2y = 3$, откуда $y = 1.5$. Получаем точку $(0; 1.5)$.
- Если $y=0$, то $x = 3$. Получаем точку $(3; 0)$.

3. Соединяем эти две точки прямой линией. Так как знак неравенства нестрогий ($\le$), то точки на самой прямой являются решениями неравенства. Поэтому прямую рисуем сплошной линией.

4. Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем произвольную "пробную" точку, не лежащую на прямой. Самый простой вариант — начало координат, точка $(0, 0)$.

5. Подставим координаты пробной точки в исходное неравенство:
$0 + 2 \cdot 0 \le 3$
$0 \le 3$

Полученное неравенство верно. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$, является решением. Это полуплоскость, расположенная ниже прямой $x + 2y = 3$.

Ответ: Множеством решений неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой $x + 2y = 3$, включая саму эту прямую.

---

б) $x - y > -4$

1. Уравнение граничной прямой: $x - y = -4$.

2. Найдем две точки для построения прямой:
- Если $x=0$, то $-y = -4$, откуда $y = 4$. Получаем точку $(0; 4)$.
- Если $y=0$, то $x = -4$. Получаем точку $(-4; 0)$.

3. Так как знак неравенства строгий ($>$), точки на самой прямой не являются решениями. Поэтому прямую рисуем пунктирной (штриховой) линией.

4. Возьмем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 - 0 > -4$
$0 > -4$

Неравенство верно. Следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область, расположенная ниже прямой $x - y = -4$.

Ответ: Множеством решений неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой $x - y = -4$, не включая саму эту прямую.

---

в) $3x + 2y \ge -5$

1. Уравнение граничной прямой: $3x + 2y = -5$.

2. Найдем две точки для построения прямой:
- Если $x=-1$, то $3(-1) + 2y = -5 \Rightarrow -3 + 2y = -5 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$. Получаем точку $(-1; -1)$.
- Если $x=1$, то $3(1) + 2y = -5 \Rightarrow 3 + 2y = -5 \Rightarrow 2y = -8 \Rightarrow y = -4$. Получаем точку $(1; -4)$.

3. Знак неравенства нестрогий ($\ge$), поэтому граничную прямую рисуем сплошной линией.

4. Возьмем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в исходное неравенство:
$3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \ge -5$
$0 \ge -5$

Неравенство верно. Значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область, расположенная выше прямой $3x + 2y = -5$.

Ответ: Множеством решений неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой $3x + 2y = -5$, включая саму эту прямую.

---

г) $x - 3y < 4$

1. Уравнение граничной прямой: $x - 3y = 4$.

2. Найдем две точки для построения прямой:
- Если $x=4$, то $4 - 3y = 4$, откуда $-3y=0$, $y=0$. Получаем точку $(4; 0)$.
- Если $x=1$, то $1 - 3y = 4$, откуда $-3y=3$, $y=-1$. Получаем точку $(1; -1)$.

3. Знак неравенства строгий ($<$), поэтому граничную прямую рисуем пунктирной (штриховой) линией.

4. Возьмем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 - 3 \cdot 0 < 4$
$0 < 4$

Неравенство верно. Значит, решением является полуплоскость, в которой лежит начало координат. Это область, расположенная выше прямой $x - 3y = 4$.

Ответ: Множеством решений неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой $x - 3y = 4$, не включая саму эту прямую.