Номер 32.30, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.30, страница 206.

32.30. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $\sqrt{3x - y - 1} < \sqrt{2x + y - 1}$;

б) $\sqrt{1 - y} \ge \sqrt{1 - 2x^2}$;

в) $\sqrt{x + y - 1} > \sqrt{2x - y}$;

г) $\sqrt{y^2 - 1} \ge \sqrt{2x - 1}$.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{3x - y - 1} < \sqrt{2x + y - 1}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). По определению арифметического квадратного корня, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x - y - 1 \ge 0 \\ 2x + y - 1 \ge 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge -2x + 1 \end{cases}$

ОДЗ представляет собой область на координатной плоскости, расположенную ниже (или на) прямой $y = 3x - 1$ и выше (или на) прямой $y = -2x + 1$. Эти прямые пересекаются в точке $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$.

2. Решим неравенство. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$3x - y - 1 < 2x + y - 1$

$x < 2y$

$y > \frac{1}{2}x$

3. Объединим результаты. Искомое множество точек должно удовлетворять системе неравенств:

$\begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge -2x + 1 \\ y > \frac{1}{2}x \end{cases}$

Все три граничные прямые $y = 3x - 1$, $y = -2x + 1$ и $y = \frac{1}{2}x$ пересекаются в одной точке $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$. Искомое множество точек — это внутренность угла, образованного лучами $y = 3x - 1$ и $y = \frac{1}{2}x$, исходящими из точки $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$ при $x \ge \frac{2}{5}$. При этом граница $y = 3x - 1$ включается в решение (изображается сплошной линией), а граница $y = \frac{1}{2}x$ не включается (изображается пунктирной линией). Условие $y \ge -2x + 1$ выполняется для всех точек этого множества.

Ответ: Множество точек, являющееся углом с вершиной в точке $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$, ограниченным лучами $y = 3x - 1$ (включительно) и $y = \frac{1}{2}x$ (не включая сам луч).

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{1 - y} \ge \sqrt{1 - 2x^2}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 1 - y \ge 0 \\ 1 - 2x^2 \ge 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y \le 1 \\ 2x^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le 1 \\ x^2 \le \frac{1}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} y \le 1 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

ОДЗ — это полубесконечная полоса, ограниченная по горизонтали прямыми $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а сверху — прямой $y=1$.

2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:

$1 - y \ge 1 - 2x^2$

$-y \ge -2x^2$

$y \le 2x^2$

3. Объединим результаты. Искомое множество точек должно удовлетворять системе:

$\begin{cases} -\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y \le 1 \\ y \le 2x^2 \end{cases}$

Рассмотрим параболу $y = 2x^2$. Ее ветви направлены вверх, вершина в точке $(0, 0)$. В точках $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ значение функции $y = 2(\pm\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1$. Это означает, что для всех $x$ из ОДЗ ($-\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$) выполняется условие $2x^2 \le 1$. Следовательно, если точка удовлетворяет неравенству $y \le 2x^2$ в этой полосе, она автоматически удовлетворяет и неравенству $y \le 1$. Таким образом, система сводится к двум неравенствам:

$\begin{cases} -\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y \le 2x^2 \end{cases}$

Искомое множество — это область, ограниченная сверху параболой $y = 2x^2$ и по бокам — вертикальными прямыми $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Все границы включаются в решение.

Ответ: Множество точек, ограниченное сверху параболой $y = 2x^2$ и по бокам прямыми $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Границы принадлежат множеству.

в)

Исходное неравенство: $\sqrt{x + y - 1} > \sqrt{2x - y}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + y - 1 \ge 0 \\ 2x - y \ge 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y \ge -x + 1 \\ y \le 2x \end{cases}$

ОДЗ — это угол, ограниченный снизу прямой $y = -x + 1$ и сверху прямой $y = 2x$. Вершина угла находится в точке их пересечения $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$.

2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:

$x + y - 1 > 2x - y$

$2y > x + 1$

$y > \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

3. Объединим результаты. Искомое множество точек удовлетворяет системе:

$\begin{cases} y \ge -x + 1 \\ y \le 2x \\ y > \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{cases}$

Граничные прямые $y = -x + 1$, $y = 2x$ и $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ пересекаются в точке $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$. Искомое множество — это часть угла ОДЗ, которая лежит выше прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Это угол, ограниченный лучами $y = 2x$ и $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$, исходящими из общей точки $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ при $x \ge \frac{1}{3}$. Граница $y = 2x$ включается в решение (сплошная линия), а граница $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ не включается (пунктирная линия). Условие $y \ge -x + 1$ выполняется автоматически.

Ответ: Множество точек, являющееся углом с вершиной в точке $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$, ограниченным лучами $y = 2x$ (включительно) и $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ (не включая сам луч).

г)

Исходное неравенство: $\sqrt{y^2 - 1} \ge \sqrt{2x - 1}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} y^2 - 1 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y^2 \ge 1 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le -1 \text{ или } y \ge 1 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases}$

ОДЗ — это объединение двух областей: части полуплоскости $x \ge \frac{1}{2}$, лежащей на прямой $y=1$ или выше нее, и части полуплоскости $x \ge \frac{1}{2}$, лежащей на прямой $y=-1$ или ниже нее.

2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:

$y^2 - 1 \ge 2x - 1$

$y^2 \ge 2x$

$x \le \frac{y^2}{2}$

3. Объединим результаты. Искомое множество точек удовлетворяет системе:

$\begin{cases} y \le -1 \text{ или } y \ge 1 \\ x \ge \frac{1}{2} \\ x \le \frac{y^2}{2} \end{cases}$

Рассмотрим граничные кривые: прямая $x = \frac{1}{2}$ и парабола $x = \frac{y^2}{2}$. Парабола имеет вершину в начале координат и ветви, направленные вправо. Они пересекаются, когда $\frac{1}{2} = \frac{y^2}{2}$, то есть $y^2 = 1$, откуда $y = \pm 1$. Точки пересечения — $(\frac{1}{2}, 1)$ и $(\frac{1}{2}, -1)$. Искомое множество точек $(x, y)$ должно удовлетворять двойному неравенству $\frac{1}{2} \le x \le \frac{y^2}{2}$. Это неравенство имеет решения только при $\frac{1}{2} \le \frac{y^2}{2}$, что эквивалентно $y^2 \ge 1$, или $y \le -1$ или $y \ge 1$. Это в точности совпадает с условиями ОДЗ на $y$. Следовательно, искомое множество — это область, заключенная между вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$ и параболой $x = \frac{y^2}{2}$.

Ответ: Множество точек на плоскости, ограниченное слева прямой $x = \frac{1}{2}$ и справа параболой $x = \frac{y^2}{2}$. Границы принадлежат множеству.