Страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

32.24. a) $x \le 5$;

б) $x > -4$;

в) $y \ge -3$;

г) $y < 2$.

а) $x \le 5$

Данное неравенство описывает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса (координата $x$) которых меньше или равна 5. Координата $y$ при этом может быть любой. Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $x = 5$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(5, 0)$ и параллельная оси ординат (оси OY). Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), сама прямая $x = 5$ является частью искомого множества, и мы изображаем её сплошной линией. Неравенству $x \le 5$ удовлетворяют все точки, лежащие на этой прямой и слева от неё. Таким образом, искомое множество точек — это полуплоскость, расположенная слева от прямой $x = 5$, включая саму прямую.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $x \le 5$, представляет собой замкнутую полуплоскость, расположенную слева от вертикальной прямой $x = 5$ и включающую эту прямую.

б) $x > -4$

Это неравенство описывает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса (координата $x$) которых строго больше -4. Координата $y$ может быть любой. Граничной линией является прямая $x = -4$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(-4, 0)$ и параллельная оси OY. Так как неравенство строгое ($ > $), точки, лежащие на самой прямой $x = -4$, не входят в искомое множество. Поэтому мы изображаем эту прямую пунктирной (или штриховой) линией. Неравенству $x > -4$ удовлетворяют все точки, расположенные справа от прямой $x = -4$. Следовательно, искомое множество — это открытая полуплоскость справа от прямой $x = -4$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $x > -4$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = -4$. Сама прямая в множество не входит.

в) $y \ge -3$

Данное неравенство описывает множество всех точек, ордината (координата $y$) которых больше или равна -3. Координата $x$ при этом может быть любой. Граничная линия задается уравнением $y = -3$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -3)$ и параллельная оси абсцисс (оси OX). Поскольку неравенство нестрогое ($ \ge $), сама прямая $y = -3$ является частью решения, и мы изображаем её сплошной линией. Неравенству $y \ge -3$ удовлетворяют все точки, лежащие на этой прямой и выше неё. Таким образом, искомое множество точек — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -3$, включая саму прямую.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \ge -3$, представляет собой замкнутую полуплоскость, расположенную выше горизонтальной прямой $y = -3$ и включающую эту прямую.

г) $y < 2$

Это неравенство описывает множество всех точек, ордината (координата $y$) которых строго меньше 2. Координата $x$ может быть любой. Граничной линией является прямая $y = 2$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$ и параллельная оси OX. Так как неравенство строгое ($ < $), точки, лежащие на самой прямой $y = 2$, не входят в искомое множество. Поэтому мы изображаем эту прямую пунктирной линией. Неравенству $y < 2$ удовлетворяют все точки, расположенные ниже прямой $y = 2$. Следовательно, искомое множество — это открытая полуплоскость ниже прямой $y = 2$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < 2$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y = 2$. Сама прямая в множество не входит.

32.25. а) $x + 2y \le 3$;

б) $x - y > -4$;

В) $3x + 2y \ge -5$;

Г) $x - 3y < 4$.

Для решения каждого из данных линейных неравенств с двумя переменными необходимо изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соответствующему неравенству. Это множество представляет собой полуплоскость.

а) $x + 2y \le 3$

1. Сначала построим граничную прямую, уравнение которой получается заменой знака неравенства на знак равенства: $x + 2y = 3$.

2. Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей. Удобно найти точки пересечения с осями координат:
- Если $x=0$, то $2y = 3$, откуда $y = 1.5$. Получаем точку $(0; 1.5)$.
- Если $y=0$, то $x = 3$. Получаем точку $(3; 0)$.

3. Соединяем эти две точки прямой линией. Так как знак неравенства нестрогий ($\le$), то точки на самой прямой являются решениями неравенства. Поэтому прямую рисуем сплошной линией.

4. Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем произвольную "пробную" точку, не лежащую на прямой. Самый простой вариант — начало координат, точка $(0, 0)$.

5. Подставим координаты пробной точки в исходное неравенство:
$0 + 2 \cdot 0 \le 3$
$0 \le 3$

Полученное неравенство верно. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$, является решением. Это полуплоскость, расположенная ниже прямой $x + 2y = 3$.

Ответ: Множеством решений неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой $x + 2y = 3$, включая саму эту прямую.

б) $x - y > -4$

1. Уравнение граничной прямой: $x - y = -4$.

2. Найдем две точки для построения прямой:
- Если $x=0$, то $-y = -4$, откуда $y = 4$. Получаем точку $(0; 4)$.
- Если $y=0$, то $x = -4$. Получаем точку $(-4; 0)$.

3. Так как знак неравенства строгий ($>$), точки на самой прямой не являются решениями. Поэтому прямую рисуем пунктирной (штриховой) линией.

4. Возьмем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 - 0 > -4$
$0 > -4$

Неравенство верно. Следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область, расположенная ниже прямой $x - y = -4$.

Ответ: Множеством решений неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой $x - y = -4$, не включая саму эту прямую.

в) $3x + 2y \ge -5$

1. Уравнение граничной прямой: $3x + 2y = -5$.

2. Найдем две точки для построения прямой:
- Если $x=-1$, то $3(-1) + 2y = -5 \Rightarrow -3 + 2y = -5 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$. Получаем точку $(-1; -1)$.
- Если $x=1$, то $3(1) + 2y = -5 \Rightarrow 3 + 2y = -5 \Rightarrow 2y = -8 \Rightarrow y = -4$. Получаем точку $(1; -4)$.

3. Знак неравенства нестрогий ($\ge$), поэтому граничную прямую рисуем сплошной линией.

4. Возьмем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в исходное неравенство:
$3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \ge -5$
$0 \ge -5$

Неравенство верно. Значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область, расположенная выше прямой $3x + 2y = -5$.

Ответ: Множеством решений неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой $3x + 2y = -5$, включая саму эту прямую.

г) $x - 3y < 4$

1. Уравнение граничной прямой: $x - 3y = 4$.

2. Найдем две точки для построения прямой:
- Если $x=4$, то $4 - 3y = 4$, откуда $-3y=0$, $y=0$. Получаем точку $(4; 0)$.
- Если $x=1$, то $1 - 3y = 4$, откуда $-3y=3$, $y=-1$. Получаем точку $(1; -1)$.

3. Знак неравенства строгий ($<$), поэтому граничную прямую рисуем пунктирной (штриховой) линией.

4. Возьмем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 - 3 \cdot 0 < 4$
$0 < 4$

Неравенство верно. Значит, решением является полуплоскость, в которой лежит начало координат. Это область, расположенная выше прямой $x - 3y = 4$.

Ответ: Множеством решений неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой $x - 3y = 4$, не включая саму эту прямую.

32.26. Укажите на координатной плоскости все точки $(x; y)$ такие, что выражение $x + 3y - 4$ принимает:

а) неположительные значения;

б) значения, меньшие числа $-8$.

а) неположительные значения;

Условие "выражение $x + 3y - 4$ принимает неположительные значения" означает, что его значения меньше или равны нулю. Это можно записать в виде неравенства:

$x + 3y - 4 \le 0$

Это линейное неравенство с двумя переменными, которое на координатной плоскости задает замкнутую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, уравнение которой $x + 3y - 4 = 0$.

Для того чтобы построить эту прямую, найдем две точки, через которые она проходит.
1. Найдем точку пересечения с осью $Ox$, для этого примем $y=0$:
$x + 3(0) - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4, 0)$.
2. Найдем точку пересечения с осью $Oy$, для этого примем $x=0$:
$0 + 3y - 4 = 0 \Rightarrow 3y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$. Точка $(0, \frac{4}{3})$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на самой прямой $x + 3y - 4 = 0$ являются решениями. Поэтому на графике прямую следует изображать сплошной линией.

Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, выберем контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобно использовать начало координат $(0, 0)$. Подставим эти координаты в исходное неравенство:

$0 + 3 \cdot 0 - 4 \le 0$

$-4 \le 0$

Это верное неравенство. Следовательно, искомое множество точек — это полуплоскость, которая содержит точку $(0, 0)$.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой $x + 3y - 4 = 0$ и содержащая начало координат. Графически это все точки на прямой $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ и все точки плоскости, расположенные ниже этой прямой.

б) значения, меньшие числа –8.

Условие "выражение $x + 3y - 4$ принимает значения, меньшие числа –8" означает, что его значения строго меньше –8. Запишем это в виде неравенства:

$x + 3y - 4 < -8$

Упростим неравенство, прибавив 8 к обеим его частям:

$x + 3y + 4 < 0$

Это линейное неравенство задает на координатной плоскости открытую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая $x + 3y + 4 = 0$.

Для построения этой прямой найдем две ее точки:
1. При $y=0$: $x + 3(0) + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$. Точка $(-4, 0)$.
2. При $x=-1$: $-1 + 3y + 4 = 0 \Rightarrow 3y = -3 \Rightarrow y = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Так как неравенство строгое ($<$), точки на самой прямой $x + 3y + 4 = 0$ не являются решениями. Поэтому на графике прямую следует изображать пунктирной (штриховой) линией.

Чтобы определить нужную полуплоскость, снова выберем контрольную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в неравенство $x + 3y + 4 < 0$:

$0 + 3 \cdot 0 + 4 < 0$

$4 < 0$

Это неверное неравенство. Следовательно, искомое множество точек — это полуплоскость, которая не содержит точку $(0, 0)$.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, ограниченная прямой $x + 3y + 4 = 0$ и не содержащая начало координат. Графически это все точки плоскости, расположенные ниже прямой $y = -\frac{1}{3}x - \frac{4}{3}$. Сама прямая в это множество не входит.

32.27. Не производя построений, докажите, что точки $A(-1; 2)$ и $B(2; 3)$ лежат по одну сторону от прямой $13x + 7y + 6 = 0$, а точки $A$ и $C(-13; -11)$ — по разные.

Для того чтобы определить, лежат ли точки по одну или по разные стороны от прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, необходимо подставить координаты этих точек в левую часть уравнения, то есть в выражение $L(x, y) = Ax + By + C$. Если знаки полученных значений для двух точек одинаковы, то точки лежат по одну сторону от прямой. Если знаки разные, то точки лежат по разные стороны.

Уравнение прямой в задаче: $13x + 7y + 6 = 0$.

Точки А(-1; 2) и В(2; 3) лежат по одну сторону от прямой

Чтобы доказать это утверждение, подставим координаты точек A и B в левую часть уравнения прямой $13x + 7y + 6$.

Для точки $A(-1; 2)$:

$13 \cdot (-1) + 7 \cdot 2 + 6 = -13 + 14 + 6 = 7$

Для точки $B(2; 3)$:

$13 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + 6 = 26 + 21 + 6 = 53$

Значения, полученные для точек A и B, равны $7$ и $53$. Оба числа положительные, следовательно, их знаки совпадают. Это доказывает, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой $13x + 7y + 6 = 0$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при подстановке координат точек A и B в левую часть уравнения прямой получаются числа одного знака ($7 > 0$ и $53 > 0$).

Точки А(-1; 2) и С(-13; -11) лежат по разные стороны от прямой

Чтобы доказать это утверждение, подставим координаты точек A и C в левую часть уравнения прямой $13x + 7y + 6$.

Для точки $A(-1; 2)$ значение уже вычислено:

$13 \cdot (-1) + 7 \cdot 2 + 6 = 7$

Для точки $C(-13; -11)$:

$13 \cdot (-13) + 7 \cdot (-11) + 6 = -169 - 77 + 6 = -240$

Значение для точки A ($7$) является положительным, а для точки C ($-240$) — отрицательным. Так как знаки не совпадают, это доказывает, что точки A и C лежат по разные стороны от прямой $13x + 7y + 6 = 0$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при подстановке координат точек A и C в левую часть уравнения прямой получаются числа разных знаков ($7 > 0$ и $-240 < 0$).

32.28. При каких значениях параметра $c$ точки $A(-1; 7)$ и $B(2; 11)$ лежат:

а) по одну сторону относительно прямой $3x + cy = 5$;

б) по разные стороны относительно прямой $5x - 4y = c$?

а)

Две точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ лежат по одну сторону от прямой, заданной общим уравнением $ax + by + d = 0$, если при подстановке их координат в выражение $ax + by + d$ получаются значения одного знака. То есть, их произведение должно быть положительным.

Запишем уравнение прямой из условия в виде $3x + cy - 5 = 0$.
Обозначим левую часть уравнения как $F(x, y) = 3x + cy - 5$.

Вычислим значение этого выражения для точки $A(-1; 7)$:
$F(A) = 3(-1) + c \cdot 7 - 5 = -3 + 7c - 5 = 7c - 8$.

Вычислим значение этого выражения для точки $B(2; 11)$:
$F(B) = 3(2) + c \cdot 11 - 5 = 6 + 11c - 5 = 11c + 1$.

Условие, что точки лежат по одну сторону от прямой, записывается как неравенство:
$F(A) \cdot F(B) > 0$
$(7c - 8)(11c + 1) > 0$.

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(7c - 8)(11c + 1) = 0$:
$7c - 8 = 0 \implies c_1 = \frac{8}{7}$
$11c + 1 = 0 \implies c_2 = -\frac{1}{11}$

Графиком функции $y = (7c - 8)(11c + 1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $c^2$ равен $77 > 0$). Следовательно, выражение положительно при значениях $c$, лежащих вне интервала между корнями.
Таким образом, $c < -\frac{1}{11}$ или $c > \frac{8}{7}$.

Ответ: $c \in (-\infty; -1/11) \cup (8/7; +\infty)$.

б)

Две точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ лежат по разные стороны от прямой $ax + by + d = 0$, если при подстановке их координат в выражение $ax + by + d$ получаются значения разных знаков. То есть, их произведение должно быть отрицательным.

Запишем уравнение прямой из условия в виде $5x - 4y - c = 0$.
Обозначим левую часть уравнения как $G(x, y) = 5x - 4y - c$.

Вычислим значение этого выражения для точки $A(-1; 7)$:
$G(A) = 5(-1) - 4 \cdot 7 - c = -5 - 28 - c = -33 - c$.

Вычислим значение этого выражения для точки $B(2; 11)$:
$G(B) = 5(2) - 4 \cdot 11 - c = 10 - 44 - c = -34 - c$.

Условие, что точки лежат по разные стороны от прямой, записывается как неравенство:
$G(A) \cdot G(B) < 0$
$(-33 - c)(-34 - c) < 0$
$(c + 33)(c + 34) < 0$.

Решим это квадратное неравенство. Корнями уравнения $(c + 33)(c + 34) = 0$ являются $c_1 = -33$ и $c_2 = -34$.

Графиком функции $y = (c + 33)(c + 34)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $c^2$ равен $1 > 0$). Следовательно, выражение отрицательно при значениях $c$, лежащих между корнями.
Таким образом, $-34 < c < -33$.

Ответ: $c \in (-34; -33)$.

32.29. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

а) $\begin{cases} x + y \ge 3 \\ 2x - 3y \le 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2y \ge 3 \\ x + 3y \le -2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y \ge 1 \\ x + y \le 1 \\ x \le 2y \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y \ge 2x \\ x + y \le 3y \\ 5x \le 2y - 7 \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x + y \ge 3 \\ 2x - 3y \le 1 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $x + y \ge 3$.
Выразим $y$: $y \ge 3 - x$.
Это множество точек, лежащих на прямой $y = 3 - x$ и выше нее. Построим эту прямую по двум точкам:
- если $x=0$, то $y=3$. Точка $(0, 3)$.
- если $x=3$, то $y=0$. Точка $(3, 0)$.

2. Второе неравенство: $2x - 3y \le 1$.
Выразим $y$: $-3y \le 1 - 2x$. При делении на -3 знак неравенства меняется: $y \ge \frac{2x - 1}{3}$.
Это множество точек, лежащих на прямой $y = \frac{2x - 1}{3}$ и выше нее. Построим эту прямую по двум точкам:
- если $x=2$, то $y = \frac{2(2) - 1}{3} = 1$. Точка $(2, 1)$.
- если $x=-1$, то $y = \frac{2(-1) - 1}{3} = -1$. Точка $(-1, -1)$.

3. Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, расположенная одновременно выше обеих прямых. Геометрически это угол.
Найдем вершину этого угла, решив систему уравнений, соответствующих граничным прямым:
$ \begin{cases} y = 3 - x \\ y = \frac{2x - 1}{3} \end{cases} $
$3 - x = \frac{2x - 1}{3}$
$9 - 3x = 2x - 1$
$10 = 5x$
$x = 2$
Подставим $x=2$ в первое уравнение: $y = 3 - 2 = 1$.
Вершина угла находится в точке $(2, 1)$.

Ответ: Множество точек представляет собой неограниченную выпуклую область (угол), ограниченную лучами, выходящими из точки $(2, 1)$ и лежащими на прямых $y = 3 - x$ и $y = \frac{2x - 1}{3}$.

б)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - y \ge 1 \\ x + y \le 1 \\ x \le 2y \end{cases} $

1. Первое неравенство: $x - y \ge 1 \implies y \le x - 1$.
Граничная прямая $y = x - 1$. Решением является полуплоскость ниже этой прямой, включая саму прямую. Точки для построения: $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

2. Второе неравенство: $x + y \le 1 \implies y \le 1 - x$.
Граничная прямая $y = 1 - x$. Решением является полуплоскость ниже этой прямой, включая саму прямую. Точки для построения: $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

3. Третье неравенство: $x \le 2y \implies y \ge \frac{1}{2}x$.
Граничная прямая $y = \frac{1}{2}x$. Решением является полуплоскость выше этой прямой, включая саму прямую. Точки для построения: $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

4. Решением системы является пересечение трех указанных полуплоскостей. Это будет треугольник, ограниченный тремя прямыми. Найдем его вершины как точки пересечения этих прямых.
- Вершина 1 (пересечение $y=x-1$ и $y=1-x$):
$x - 1 = 1 - x \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Тогда $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
- Вершина 2 (пересечение $y=1-x$ и $y=\frac{1}{2}x$):
$1 - x = \frac{1}{2}x \implies 1 = \frac{3}{2}x \implies x = \frac{2}{3}$. Тогда $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Точка $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$.
- Вершина 3 (пересечение $y=x-1$ и $y=\frac{1}{2}x$):
$x - 1 = \frac{1}{2}x \implies \frac{1}{2}x = 1 \implies x = 2$. Тогда $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Ответ: Множество точек представляет собой треугольник (включая его границы) с вершинами в точках $(1, 0)$, $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ и $(2, 1)$.

в)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - 2y \ge 3 \\ x + 3y \le -2 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $x - 2y \ge 3$.
Выразим $y$: $-2y \ge 3 - x \implies y \le \frac{x-3}{2}$.
Это множество точек, лежащих на прямой $y = \frac{x-3}{2}$ и ниже нее. Точки для построения: $(3, 0)$ и $(1, -1)$.

2. Второе неравенство: $x + 3y \le -2$.
Выразим $y$: $3y \le -x - 2 \implies y \le \frac{-x-2}{3}$.
Это множество точек, лежащих на прямой $y = \frac{-x-2}{3}$ и ниже нее. Точки для построения: $(-2, 0)$ и $(1, -1)$.

3. Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, расположенная одновременно ниже обеих прямых, то есть угол.
Найдем вершину этого угла в точке пересечения прямых:
$ \begin{cases} y = \frac{x-3}{2} \\ y = \frac{-x-2}{3} \end{cases} $
$\frac{x-3}{2} = \frac{-x-2}{3}$
$3(x-3) = 2(-x-2)$
$3x - 9 = -2x - 4$
$5x = 5$
$x = 1$
Подставим $x=1$ в первое уравнение: $y = \frac{1-3}{2} = -1$.
Вершина угла находится в точке $(1, -1)$.

Ответ: Множество точек представляет собой неограниченную выпуклую область (угол), ограниченную лучами, выходящими из точки $(1, -1)$ и лежащими на прямых $y = \frac{x-3}{2}$ и $y = \frac{-x-2}{3}$.

г)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - y \ge 2x \\ x + y \le 3y \\ 5x \le 2y - 7 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$:
1. $x - y \ge 2x \implies -y \ge x \implies y \le -x$.
Решение — полуплоскость ниже прямой $y=-x$ (включая прямую).
2. $x + y \le 3y \implies x \le 2y \implies y \ge \frac{1}{2}x$.
Решение — полуплоскость выше прямой $y=\frac{1}{2}x$ (включая прямую).
3. $5x \le 2y - 7 \implies 5x + 7 \le 2y \implies y \ge \frac{5x+7}{2}$.
Решение — полуплоскость выше прямой $y=\frac{5x+7}{2}$ (включая прямую).

Решением системы является пересечение этих трех полуплоскостей. Точки множества должны лежать ниже прямой $y=-x$ и одновременно выше обеих прямых $y=\frac{1}{2}x$ и $y=\frac{5x+7}{2}$.
Найдем вершины, образованные пересечением граничных прямых:
- Вершина A (пересечение $y=-x$ и $y=\frac{5x+7}{2}$):
$-x = \frac{5x+7}{2} \implies -2x = 5x+7 \implies -7 = 7x \implies x=-1$. Тогда $y = -(-1) = 1$.
Точка $A(-1, 1)$. Проверим для нее третье неравенство: $1 \ge \frac{1}{2}(-1) \implies 1 \ge -0.5$ (верно).
- Вершина B (пересечение $y=\frac{1}{2}x$ и $y=\frac{5x+7}{2}$):
$\frac{1}{2}x = \frac{5x+7}{2} \implies x = 5x+7 \implies -4x = 7 \implies x = -\frac{7}{4}$.
Тогда $y = \frac{1}{2} (-\frac{7}{4}) = -\frac{7}{8}$.
Точка $B(-\frac{7}{4}, -\frac{7}{8})$. Проверим для нее первое неравенство: $-\frac{7}{8} \le -(-\frac{7}{4}) \implies -\frac{7}{8} \le \frac{14}{8}$ (верно).

Искомое множество — это неограниченная выпуклая область, граница которой состоит из отрезка прямой $y=\frac{5x+7}{2}$ между точками $A$ и $B$, луча прямой $y=-x$, исходящего из точки $A$ влево, и луча прямой $y=\frac{1}{2}x$, исходящего из точки $B$ влево.

Ответ: Множество точек — это неограниченная выпуклая область с двумя вершинами $A(-1, 1)$ и $B(-\frac{7}{4}, -\frac{7}{8})$. Граница области состоит из отрезка $AB$ на прямой $y=\frac{5x+7}{2}$, луча на прямой $y=-x$ с началом в точке $A$ (при $x \le -1$), и луча на прямой $y=\frac{1}{2}x$ с началом в точке $B$ (при $x \le -\frac{7}{4}$).

32.30. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $\sqrt{3x - y - 1} < \sqrt{2x + y - 1}$;

б) $\sqrt{1 - y} \ge \sqrt{1 - 2x^2}$;

в) $\sqrt{x + y - 1} > \sqrt{2x - y}$;

г) $\sqrt{y^2 - 1} \ge \sqrt{2x - 1}$.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{3x - y - 1} < \sqrt{2x + y - 1}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). По определению арифметического квадратного корня, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x - y - 1 \ge 0 \\ 2x + y - 1 \ge 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge -2x + 1 \end{cases}$

ОДЗ представляет собой область на координатной плоскости, расположенную ниже (или на) прямой $y = 3x - 1$ и выше (или на) прямой $y = -2x + 1$. Эти прямые пересекаются в точке $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$.

2. Решим неравенство. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$3x - y - 1 < 2x + y - 1$

$x < 2y$

$y > \frac{1}{2}x$

3. Объединим результаты. Искомое множество точек должно удовлетворять системе неравенств:

$\begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge -2x + 1 \\ y > \frac{1}{2}x \end{cases}$

Все три граничные прямые $y = 3x - 1$, $y = -2x + 1$ и $y = \frac{1}{2}x$ пересекаются в одной точке $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$. Искомое множество точек — это внутренность угла, образованного лучами $y = 3x - 1$ и $y = \frac{1}{2}x$, исходящими из точки $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$ при $x \ge \frac{2}{5}$. При этом граница $y = 3x - 1$ включается в решение (изображается сплошной линией), а граница $y = \frac{1}{2}x$ не включается (изображается пунктирной линией). Условие $y \ge -2x + 1$ выполняется для всех точек этого множества.

Ответ: Множество точек, являющееся углом с вершиной в точке $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$, ограниченным лучами $y = 3x - 1$ (включительно) и $y = \frac{1}{2}x$ (не включая сам луч).

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{1 - y} \ge \sqrt{1 - 2x^2}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 1 - y \ge 0 \\ 1 - 2x^2 \ge 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y \le 1 \\ 2x^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le 1 \\ x^2 \le \frac{1}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} y \le 1 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

ОДЗ — это полубесконечная полоса, ограниченная по горизонтали прямыми $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а сверху — прямой $y=1$.

2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:

$1 - y \ge 1 - 2x^2$

$-y \ge -2x^2$

$y \le 2x^2$

3. Объединим результаты. Искомое множество точек должно удовлетворять системе:

$\begin{cases} -\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y \le 1 \\ y \le 2x^2 \end{cases}$

Рассмотрим параболу $y = 2x^2$. Ее ветви направлены вверх, вершина в точке $(0, 0)$. В точках $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ значение функции $y = 2(\pm\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1$. Это означает, что для всех $x$ из ОДЗ ($-\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$) выполняется условие $2x^2 \le 1$. Следовательно, если точка удовлетворяет неравенству $y \le 2x^2$ в этой полосе, она автоматически удовлетворяет и неравенству $y \le 1$. Таким образом, система сводится к двум неравенствам:

$\begin{cases} -\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y \le 2x^2 \end{cases}$

Искомое множество — это область, ограниченная сверху параболой $y = 2x^2$ и по бокам — вертикальными прямыми $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Все границы включаются в решение.

Ответ: Множество точек, ограниченное сверху параболой $y = 2x^2$ и по бокам прямыми $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Границы принадлежат множеству.

в)

Исходное неравенство: $\sqrt{x + y - 1} > \sqrt{2x - y}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + y - 1 \ge 0 \\ 2x - y \ge 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y \ge -x + 1 \\ y \le 2x \end{cases}$

ОДЗ — это угол, ограниченный снизу прямой $y = -x + 1$ и сверху прямой $y = 2x$. Вершина угла находится в точке их пересечения $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$.

2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:

$x + y - 1 > 2x - y$

$2y > x + 1$

$y > \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

3. Объединим результаты. Искомое множество точек удовлетворяет системе:

$\begin{cases} y \ge -x + 1 \\ y \le 2x \\ y > \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{cases}$

Граничные прямые $y = -x + 1$, $y = 2x$ и $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ пересекаются в точке $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$. Искомое множество — это часть угла ОДЗ, которая лежит выше прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Это угол, ограниченный лучами $y = 2x$ и $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$, исходящими из общей точки $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ при $x \ge \frac{1}{3}$. Граница $y = 2x$ включается в решение (сплошная линия), а граница $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ не включается (пунктирная линия). Условие $y \ge -x + 1$ выполняется автоматически.

Ответ: Множество точек, являющееся углом с вершиной в точке $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$, ограниченным лучами $y = 2x$ (включительно) и $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ (не включая сам луч).

г)

Исходное неравенство: $\sqrt{y^2 - 1} \ge \sqrt{2x - 1}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} y^2 - 1 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y^2 \ge 1 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le -1 \text{ или } y \ge 1 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases}$

ОДЗ — это объединение двух областей: части полуплоскости $x \ge \frac{1}{2}$, лежащей на прямой $y=1$ или выше нее, и части полуплоскости $x \ge \frac{1}{2}$, лежащей на прямой $y=-1$ или ниже нее.

2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:

$y^2 - 1 \ge 2x - 1$

$y^2 \ge 2x$

$x \le \frac{y^2}{2}$

3. Объединим результаты. Искомое множество точек удовлетворяет системе:

$\begin{cases} y \le -1 \text{ или } y \ge 1 \\ x \ge \frac{1}{2} \\ x \le \frac{y^2}{2} \end{cases}$

Рассмотрим граничные кривые: прямая $x = \frac{1}{2}$ и парабола $x = \frac{y^2}{2}$. Парабола имеет вершину в начале координат и ветви, направленные вправо. Они пересекаются, когда $\frac{1}{2} = \frac{y^2}{2}$, то есть $y^2 = 1$, откуда $y = \pm 1$. Точки пересечения — $(\frac{1}{2}, 1)$ и $(\frac{1}{2}, -1)$. Искомое множество точек $(x, y)$ должно удовлетворять двойному неравенству $\frac{1}{2} \le x \le \frac{y^2}{2}$. Это неравенство имеет решения только при $\frac{1}{2} \le \frac{y^2}{2}$, что эквивалентно $y^2 \ge 1$, или $y \le -1$ или $y \ge 1$. Это в точности совпадает с условиями ОДЗ на $y$. Следовательно, искомое множество — это область, заключенная между вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$ и параболой $x = \frac{y^2}{2}$.

Ответ: Множество точек на плоскости, ограниченное слева прямой $x = \frac{1}{2}$ и справа параболой $x = \frac{y^2}{2}$. Границы принадлежат множеству.