Страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.13. График уравнения $f(x; y) = 0$, изображённый на рис. 11, имеет вид многоугольника, вершины которого — точки с целочисленными координатами. Постройте график уравнения:

а) $f(x + 1; y - 1) = 0;$

б) $f\left(|x|; -\frac{y}{2}\right) = 0;$

в) $f(2 - x; 1 + y) = 0;$

г) $f(|y|; -2x) = 0.$

Рис. 11

Исходный график представляет собой многоугольник, являющийся решением уравнения $f(x, y) = 0$. Вершины этого многоугольника имеют следующие целочисленные координаты (определены по Рис. 11): $V_1(-2, 1)$, $V_2(1, 3)$, $V_3(2, 1)$, $V_4(5, 2)$, $V_5(2, -2)$, $V_6(1, -2)$. Для построения графиков новых уравнений мы определим, как преобразуются координаты каждой вершины исходного многоугольника.

a) $f(x + 1; y - 1) = 0$

Пусть $(x', y')$ — координаты точки на новом графике. Тогда они удовлетворяют уравнению $f(x' + 1, y' - 1) = 0$. Это означает, что точка с координатами $(x, y) = (x' + 1, y' - 1)$ лежит на исходном графике. Выразим новые координаты $(x', y')$ через старые $(x, y)$:$x' + 1 = x \Rightarrow x' = x - 1$$y' - 1 = y \Rightarrow y' = y + 1$Это преобразование является параллельным переносом. Каждая точка исходного графика смещается на 1 единицу влево и на 1 единицу вверх. Применим это преобразование к вершинам исходного многоугольника:
$V_1(-2, 1) \rightarrow V_1'(-2-1, 1+1) = (-3, 2)$
$V_2(1, 3) \rightarrow V_2'(1-1, 3+1) = (0, 4)$
$V_3(2, 1) \rightarrow V_3'(2-1, 1+1) = (1, 2)$
$V_4(5, 2) \rightarrow V_4'(5-1, 2+1) = (4, 3)$
$V_5(2, -2) \rightarrow V_5'(2-1, -2+1) = (1, -1)$
$V_6(1, -2) \rightarrow V_6'(1-1, -2+1) = (0, -1)$

Ответ: Новый график — это многоугольник, полученный сдвигом исходного на 1 влево и 1 вверх, с вершинами в точках $(-3, 2)$, $(0, 4)$, $(1, 2)$, $(4, 3)$, $(1, -1)$, $(0, -1)$.

б) $f\left(|x|; -\frac{y}{2}\right) = 0$

Пусть $(x', y')$ — точка нового графика. Тогда $f(|x'|, -y'/2) = 0$. Сопоставляя с $f(x, y) = 0$, получаем:$x = |x'|$$y = -y'/2 \Rightarrow y' = -2y$Так как $x = |x'|$, то $x \ge 0$. Это означает, что для построения нового графика используется только та часть исходного, которая находится в правой полуплоскости (где $x \ge 0$). Затем эта часть преобразуется и отражается симметрично относительно оси $OY$.Часть исходного графика при $x \ge 0$ — это многоугольник с вершинами $(0, 7/3)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(5, 2)$, $(2, -2)$, $(1, -2)$, $(0, -1)$. Точки $(0, 7/3)$ и $(0, -1)$ — это точки пересечения исходного графика с осью $OY$.Преобразование для этой части: $(x, y) \rightarrow (x, -2y)$. Это растяжение в 2 раза вдоль оси $OY$ с последующим отражением относительно оси $OX$.Применим это преобразование к вершинам правой части исходного графика:
$(0, 7/3) \rightarrow (0, -14/3)$
$(1, 3) \rightarrow (1, -6)$
$(2, 1) \rightarrow (2, -2)$
$(5, 2) \rightarrow (5, -4)$
$(2, -2) \rightarrow (2, 4)$
$(1, -2) \rightarrow (1, 4)$
$(0, -1) \rightarrow (0, 2)$Полученный многоугольник для $x' \ge 0$ и его симметричное отражение относительно оси $OY$ образуют итоговый график.

Ответ: Новый график — это многоугольник, симметричный относительно оси $OY$, с вершинами в точках $(0, 2)$, $(1, 4)$, $(2, 4)$, $(5, -4)$, $(2, -2)$, $(1, -6)$, $(0, -14/3)$, $(-1, -6)$, $(-2, -2)$, $(-5, -4)$, $(-2, 4)$, $(-1, 4)$.

в) $f(2 - x; 1 + y) = 0$

Пусть $(x', y')$ — точка нового графика. Тогда $f(2 - x', 1 + y') = 0$. Отсюда:$x = 2 - x' \Rightarrow x' = 2 - x$$y = 1 + y' \Rightarrow y' = y - 1$Это преобразование можно рассматривать как композицию: 1) отражение относительно оси $OY$ ($x \rightarrow -x$), 2) сдвиг на 2 вправо ($-x \rightarrow -x+2$), 3) сдвиг на 1 вниз ($y \rightarrow y-1$).Применим преобразование $x' = 2 - x, y' = y - 1$ к вершинам:
$V_1(-2, 1) \rightarrow V_1'(2 - (-2), 1 - 1) = (4, 0)$
$V_2(1, 3) \rightarrow V_2'(2 - 1, 3 - 1) = (1, 2)$
$V_3(2, 1) \rightarrow V_3'(2 - 2, 1 - 1) = (0, 0)$
$V_4(5, 2) \rightarrow V_4'(2 - 5, 2 - 1) = (-3, 1)$
$V_5(2, -2) \rightarrow V_5'(2 - 2, -2 - 1) = (0, -3)$
$V_6(1, -2) \rightarrow V_6'(2 - 1, -2 - 1) = (1, -3)$

Ответ: Новый график — это многоугольник с вершинами в точках $(4, 0)$, $(1, 2)$, $(0, 0)$, $(-3, 1)$, $(0, -3)$, $(1, -3)$.

г) $f(|y|; -2x) = 0$

Пусть $(x', y')$ — точка нового графика. Тогда $f(|y'|, -2x') = 0$. Отсюда:$x = |y'| \Rightarrow y' = \pm x$$y = -2x' \Rightarrow x' = -y/2$Так как $x = |y'|$, то $x \ge 0$. Снова используется только часть исходного графика при $x \ge 0$ с вершинами $(0, 7/3)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(5, 2)$, $(2, -2)$, $(1, -2)$, $(0, -1)$.Преобразование $(x, y) \rightarrow (-y/2, \pm x)$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ из правой части исходного графика на новом графике будут две точки $(-y/2, x)$ и $(-y/2, -x)$. Итоговый график будет симметричен относительно оси $OX$.Рассмотрим преобразование $(x, y) \rightarrow (-y/2, x)$, которое дает верхнюю половину нового графика. Это поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки с последующим сжатием к оси $OY$ в 2 раза.Применим это преобразование к вершинам правой части исходного графика:
$(0, 7/3) \rightarrow (- (7/3)/2, 0) = (-7/6, 0)$
$(1, 3) \rightarrow (-3/2, 1) = (-1.5, 1)$
$(2, 1) \rightarrow (-1/2, 2) = (-0.5, 2)$
$(5, 2) \rightarrow (-2/2, 5) = (-1, 5)$
$(2, -2) \rightarrow (-(-2)/2, 2) = (1, 2)$
$(1, -2) \rightarrow (-(-2)/2, 1) = (1, 1)$
$(0, -1) \rightarrow (-(-1)/2, 0) = (1/2, 0)$Верхняя половина нового графика — многоугольник с этими вершинами. Нижняя половина — его отражение относительно оси $OX$.

Ответ: Новый график — это многоугольник, симметричный относительно оси $OX$, с вершинами в точках $(-1, 5)$, $(-0.5, 2)$, $(1, 2)$, $(1, 1)$, $(0.5, 0)$, $(1, -1)$, $(1, -2)$, $(-0.5, -2)$, $(-1, -5)$, $(-1.5, -1)$, $(-7/6, 0)$, $(-1.5, 1)$.

32.14. Постройте график уравнения и вычислите площадь фигуры, которая ограничена этим графиком:

a) $2|x| + 3|y| = 6;$

б) $\frac{1}{3}|x + 5| + \frac{1}{5}|y - 1| = 2;$

в) $0,5|x| + \frac{1}{3}|y| = 2;$

г) $\frac{|x - a|}{p} + \frac{|y - b|}{q} = 1, p > 0, q > 0.$

Общий вид уравнений в данной задаче — $A|x - a| + B|y - b| = C$, где $A > 0$, $B > 0$, $C > 0$. Графиком такого уравнения всегда является ромб с центром в точке $(a, b)$. Его диагонали параллельны осям координат. Для построения графика достаточно найти его вершины, а для вычисления площади — длины диагоналей.

а) $2|x| + 3|y| = 6$

Данное уравнение можно представить в виде $2|x - 0| + 3|y - 0| = 6$. Это уравнение ромба с центром в начале координат $(0, 0)$.

Для построения графика найдем точки его пересечения с осями координат, которые и будут вершинами ромба.
1. Найдем пересечения с осью $Oy$, положив $x=0$:
$2|0| + 3|y| = 6$
$3|y| = 6$
$|y| = 2$
Получаем две точки: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.
2. Найдем пересечения с осью $Ox$, положив $y=0$:
$2|x| + 3|0| = 6$
$2|x| = 6$
$|x| = 3$
Получаем еще две точки: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Таким образом, график уравнения — это ромб с вершинами в точках $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$ (вдоль оси $Ox$) равна расстоянию между точками $(3, 0)$ и $(-3, 0)$: $d_1 = 3 - (-3) = 6$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$ (вдоль оси $Oy$) равна расстоянию между точками $(0, 2)$ и $(0, -2)$: $d_2 = 2 - (-2) = 4$.
Площадь фигуры: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12.

б) $|\frac{1}{3}x + 5| + |\frac{1}{5}y - 1| = 2$

Преобразуем уравнение, чтобы определить центр ромба:
$|\frac{1}{3}(x + 15)| + |\frac{1}{5}(y - 5)| = 2$
$\frac{1}{3}|x - (-15)| + \frac{1}{5}|y - 5| = 2$
Это уравнение ромба с центром в точке $(-15, 5)$.

Найдем вершины ромба.
1. Положим $x = -15$:
$|\frac{1}{3}(-15) + 5| + |\frac{1}{5}y - 1| = 2$
$|0| + |\frac{1}{5}y - 1| = 2$
$|\frac{1}{5}y - 1| = 2$
Отсюда $\frac{1}{5}y - 1 = 2$ или $\frac{1}{5}y - 1 = -2$.
$\frac{1}{5}y = 3 \implies y = 15$. Вершина $(-15, 15)$.
$\frac{1}{5}y = -1 \implies y = -5$. Вершина $(-15, -5)$.
2. Положим $y = 5$:
$|\frac{1}{3}x + 5| + |\frac{1}{5}(5) - 1| = 2$
$|\frac{1}{3}x + 5| + |0| = 2$
$|\frac{1}{3}x + 5| = 2$
Отсюда $\frac{1}{3}x + 5 = 2$ или $\frac{1}{3}x + 5 = -2$.
$\frac{1}{3}x = -3 \implies x = -9$. Вершина $(-9, 5)$.
$\frac{1}{3}x = -7 \implies x = -21$. Вершина $(-21, 5)$.

График — ромб с вершинами в точках $(-15, 15)$, $(-15, -5)$, $(-9, 5)$ и $(-21, 5)$.

Вычислим площадь.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$ равна расстоянию между точками $(-9, 5)$ и $(-21, 5)$: $d_1 = -9 - (-21) = 12$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$ равна расстоянию между точками $(-15, 15)$ и $(-15, -5)$: $d_2 = 15 - (-5) = 20$.
Площадь фигуры: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 = 120$.

Ответ: 120.

в) $0,5|x| + \frac{1}{3}|y| = 2$

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2}|x| + \frac{1}{3}|y| = 2$. Это уравнение ромба с центром в начале координат $(0, 0)$.

Найдем вершины ромба, которые лежат на осях координат.
1. При $x = 0$:
$\frac{1}{3}|y| = 2 \implies |y| = 6$. Вершины: $(0, 6)$ и $(0, -6)$.
2. При $y = 0$:
$0,5|x| = 2 \implies |x| = 4$. Вершины: $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

График — ромб с вершинами в точках $(4, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, 6)$ и $(0, -6)$.

Вычислим площадь.
Длина горизонтальной диагонали $d_1 = 4 - (-4) = 8$.
Длина вертикальной диагонали $d_2 = 6 - (-6) = 12$.
Площадь фигуры: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48$.

Ответ: 48.

г) $\frac{|x - a|}{p} + \frac{|y - b|}{q} = 1$, $p > 0$, $q > 0$

Данное уравнение уже представлено в каноническом виде для ромба с центром в точке $(a, b)$. Параметры $p$ и $q$ определяют размеры ромба.

Найдем вершины ромба.
1. Положим $x = a$:
$\frac{|a - a|}{p} + \frac{|y - b|}{q} = 1$
$\frac{|y - b|}{q} = 1 \implies |y - b| = q$
$y - b = q \implies y = b + q$. Вершина $(a, b+q)$.
$y - b = -q \implies y = b - q$. Вершина $(a, b-q)$.
2. Положим $y = b$:
$\frac{|x - a|}{p} + \frac{|b - b|}{q} = 1$
$\frac{|x - a|}{p} = 1 \implies |x - a| = p$
$x - a = p \implies x = a + p$. Вершина $(a+p, b)$.
$x - a = -p \implies x = a - p$. Вершина $(a-p, b)$.

График — ромб с вершинами в точках $(a+p, b)$, $(a-p, b)$, $(a, b+q)$ и $(a, b-q)$.

Вычислим площадь.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$ равна расстоянию между точками $(a+p, b)$ и $(a-p, b)$: $d_1 = (a+p) - (a-p) = 2p$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$ равна расстоянию между точками $(a, b+q)$ и $(a, b-q)$: $d_2 = (b+q) - (b-q) = 2q$.
Площадь фигуры: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot (2p) \cdot (2q) = 2pq$.

Ответ: $2pq$.